Максимум произведения

[Edward_Tur]

Найти максимум произведения $\sum_1^n x_k\sum_1^n\frac1x_k$, где $0<a\le x_1\le...\le =x_n\le b$.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Грубая оценка сверху: $(a+b)^2n^2/4ab$ . Более тонкая оценка для нечётных n: $[(a+b)^2n^2 - (b-a)^2]/4ab $.

Но это оценки, которые следует из известного неравенства Швейцера-Канторовича. Вопрос - достигаются ли они?

Гипотеза. Для чётных $n$ половине $x_k$ присваиваем значение $a$ , а половине $b$ . Для нечётных $n$ одно значение $x_k$ равно медиане допустимого интервала.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1648056 писал(а):

Для нечётных $n$ одно значение $x_k$ равно медиане допустимого интервала.

Похоже для нечётных $n$ я поторопился (но я писал про гипотезу). Не в середине, а на границе. Завтра уточню. То есть тут наблюдается асимметрия. Все точки $x_k$ располагаются на границе интервала. Но на одной из границ точек $x_k$ на одну больше.

Для чётных $n$ всё в порядке.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1648056 писал(а):

Грубая оценка сверху: $(a+b)^2n^2/4ab$ . Более тонкая оценка для нечётных n: $[(a+b)^2n^2 - (b-a)^2]/4ab $.

Но это оценки, которые следует из известного неравенства Швейцера-Канторовича. Вопрос - достигаются ли они?

Поскольку задача всё же олимпиадная, то хорошо бы всё-таки самому что-то доказать, а не ссылаться на известные результаты. План действий тут может быть таков. Функция, максимум которой нам нужно найти, выпукла (вниз). Это можно доказать, учитывая, что операции взятия суммы и произведения сохраняют выпуклость. Далее, выпуклая функция достигает максимума сугубо в крайних точках. Доказать тут можно от противного, сведением к одномерному случаю. Пусть выпуклая функция задана на некотором отрезке, принадлежащем нашему множеству. Тогда её максимум не может достигаться во внутренних точках этого отрезка. Далее, наше множество есть куб. И его крайние точки есть его вершины. Эти вершины можно разделить на $n+1$ разновидностей, в зависимости от того, для какого количества индексов выполняется $x_k=a$ . После чего надо вычислить нашу функцию для каждой разновидности распределения $x_k$ и сравнить.

Это сугубо мои мысли. Как доказывается неравенство Швейцера в книгах, не искал.

[TOTAL]

Итого получаем:

$$n^2+\left[ \frac{n}{2} \right] \left( n - \left[ \frac{n}{2} \right] \right)\left(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}-2 \right)$$

[мат-ламер]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1648117 писал(а):

Эти вершины можно разделить на $n+1$ разновидностей, в зависимости от того, для какого количества индексов выполняется $x_k=a$ . После чего надо вычислить нашу функцию для каждой разновидности распределения $x_k$ и сравнить.

Пусть у нас $l$ точек $x_k$ принимает значение $a$ и $m$ точек $x_k$ принимает значение $b$ (причём $l+m=n$) . Тогда наше произведение равно $P=[(a+b)^2n^2-(b-a)^2(l-m)^2]/4ab $ . Отсюда видно, что наше произведение достигает максимума, когда достигает минимума выражение $(l-m)^2$ . Для чётного $n$ этот минимум нулевой и достигается, когда $l=m$ . Для нечётного $n$ этот минимум единичный и достигается, когда $|l-m|=1$ .

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Вот тут (в середине) есть ссылка на статью Храброва про неравенство Швейцера (из брошюры о Питерской олимпиаде 2005 года).

Чего-то ТС молчит ...