(Оффтоп)
Грубая оценка сверху:
![$(a+b)^2n^2/4ab$ $(a+b)^2n^2/4ab$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/1/ce16b65032a7716c010ea2abfc58005b82.png)
. Более тонкая оценка для нечётных n:
![$[(a+b)^2n^2 - (b-a)^2]/4ab $ $[(a+b)^2n^2 - (b-a)^2]/4ab $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/5/29588c4ef5794ef31e55529042e2c05782.png)
.
Но это оценки, которые следует из известного неравенства Швейцера-Канторовича. Вопрос - достигаются ли они?
Поскольку задача всё же олимпиадная, то хорошо бы всё-таки самому что-то доказать, а не ссылаться на известные результаты. План действий тут может быть таков. Функция, максимум которой нам нужно найти, выпукла (вниз). Это можно доказать, учитывая, что операции взятия суммы и произведения сохраняют выпуклость. Далее, выпуклая функция достигает максимума сугубо в крайних точках. Доказать тут можно от противного, сведением к одномерному случаю. Пусть выпуклая функция задана на некотором отрезке, принадлежащем нашему множеству. Тогда её максимум не может достигаться во внутренних точках этого отрезка. Далее, наше множество есть куб. И его крайние точки есть его вершины. Эти вершины можно разделить на
![$n+1$ $n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f18d8f60c110e865571bba5ba67dcc682.png)
разновидностей, в зависимости от того, для какого количества индексов выполняется
![$x_k=a$ $x_k=a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/6/6b6364db0177e7b835aa0af1da0b121082.png)
. После чего надо вычислить нашу функцию для каждой разновидности распределения
![$x_k$ $x_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41a0912d0f46af38c7fa2115d8f0386e82.png)
и сравнить.
Это сугубо мои мысли. Как доказывается неравенство Швейцера в книгах, не искал.