(Оффтоп)
Грубая оценка сверху:

. Более тонкая оценка для нечётных n:
![$[(a+b)^2n^2 - (b-a)^2]/4ab $ $[(a+b)^2n^2 - (b-a)^2]/4ab $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/5/29588c4ef5794ef31e55529042e2c05782.png)
.
Но это оценки, которые следует из известного неравенства Швейцера-Канторовича. Вопрос - достигаются ли они?
Поскольку задача всё же олимпиадная, то хорошо бы всё-таки самому что-то доказать, а не ссылаться на известные результаты. План действий тут может быть таков. Функция, максимум которой нам нужно найти, выпукла (вниз). Это можно доказать, учитывая, что операции взятия суммы и произведения сохраняют выпуклость. Далее, выпуклая функция достигает максимума сугубо в крайних точках. Доказать тут можно от противного, сведением к одномерному случаю. Пусть выпуклая функция задана на некотором отрезке, принадлежащем нашему множеству. Тогда её максимум не может достигаться во внутренних точках этого отрезка. Далее, наше множество есть куб. И его крайние точки есть его вершины. Эти вершины можно разделить на

разновидностей, в зависимости от того, для какого количества индексов выполняется

. После чего надо вычислить нашу функцию для каждой разновидности распределения

и сравнить.
Это сугубо мои мысли. Как доказывается неравенство Швейцера в книгах, не искал.