2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 18:17 


09/01/24
274
Здравствуйте,помогите пожалуйста понять что такое сигма-алгебра в вероятностном пространстве.
Вероятностное пространство это тройка:
Пространство элементарных исходов($\Omega) - Это множество всех элементарных исходов случайного эксперимента.
Вероятностная мера или вероятность($\rho) - То есть вероятность некоторого исхода или события.
Сигма-алгебра множеств($\sigma) - Это множество подмножества всех элементарных исходов случайного эксперимента.

То есть я правильно понимаю что сигма-алгебра это ничто иное как сами случайные события(не элементарные исходы а именно события)?
Или это группа событий?

Пример::
Бросок игральной кости:
Исход:Выпадение грани 1
Исход:Выпадение грани 2
Исход:Выпадение грани 3
Исход:Выпадение грани 4
Исход:Выпадение грани 5
Исход:Выпадение грани 6
Тогда пространством элементарных исходов будет совокупность всех исходов(то есть выпадение грани 1...выпадение грани 6).

Далее:
Событие А:Выпадение четного числа
Событие В:Выпадение числа меньше 3
Событие С:Выпадение числа больше 3

Сами события это и есть сигма-алгебра?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 18:23 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
Элементы сигма-алгебры - это множества, они и будут событиями.
Сигма-алгебра - множество множеств или множество событий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 19:31 


21/12/16
721
интересено, а как в вероятностных терминах трактовать неизмеримое множество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
drzewo в сообщении #1647848 писал(а):
а как в вероятностных терминах трактовать неизмеримое множество
Так и трактовать - как множество исходов, не являющееся событием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 19:43 


09/01/24
274
Null в сообщении #1647846 писал(а):
Элементы сигма-алгебры - это множества, они и будут событиями.
Сигма-алгебра - множество множеств или множество событий.


Погодите
Элементы сигма-алгебры - это множества,и они будут событиями
То есть элементы сигма-алгебры это и есть события.
А сигма-алгебра это тоже множество событий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Elijah96 в сообщении #1647850 писал(а):
А сигма-алгебра это тоже множество событий?
Что значит "тоже"? Это множество событий, и вроде бы других множеств событий в этой теме не упоминалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 19:48 


09/01/24
274
Null в сообщении #1647846 писал(а):
Элементы сигма-алгебры - это множества, они и будут событиями.
Сигма-алгебра - множество множеств или множество событий.


Если сигма-алгебра это множество событий
То что тогда элемент сигма-алгебры?
Само событие?
Тогда причем здесь множества?

-- 30.07.2024, 19:50 --

Исходя из моего примера,получается события А,В,С это сигма-алгебра,а любое событие по отдельности это элемент сигма-алгебры?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
Сигма-алгебра $\sigma$ - это множество всех событий. Множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ является событием тогда и только тогда, когда $A \in \sigma$.

Если $\Omega$ конечно (например, исходы бросков кубика), то обычно в качестве $\sigma$ берут множество всех подмножеств $\Omega$, или, как еще говорят, булеан $\Omega$. Тогда всякое множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ есть событие.

При бесконечном $\Omega$, вообще говоря, есть множества элементарных исходов, не являющиеся событиями: $B \subset \Omega, B \notin \sigma$. Но эти множества очень сложно устроены и не интересны с практической точки зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 20:14 


09/01/24
274
Anton_Peplov в сообщении #1647855 писал(а):
Сигма-алгебра $\sigma$ - это множество всех событий. Множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ является событием тогда и только тогда, когда $A \in \sigma$.

Если $\Omega$ конечно (например, исходы бросков кубика), то обычно в качестве $\sigma$ берут множество всех подмножеств $\Omega$, или, как еще говорят, булеан $\Omega$. Тогда всякое множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ есть событие.

При бесконечном $\Omega$, вообще говоря, есть множества элементарных исходов, не являющиеся событиями: $B \subset \Omega, B \notin \sigma$. Но эти множества очень сложно устроены и не интересны с практической точки зрения.


Получается в моем примере множество состоящее из событий А,В и С это одна из сигма-алгебр?(ведь событий может быть множество).

Пример::
Бросок игральной кости:
Исход:Выпадение грани 1(Событие А)
Исход:Выпадение грани 2(Событие B)
Исход:Выпадение грани 3(Событие C)
Исход:Выпадение грани 4(Событие D)
Исход:Выпадение грани 5(Событие E)
Исход:Выпадение грани 6(Событие F)

Тогда в частном случае могут ли события A,B,C,D,E,F так же быть сигма-алгеброй(ведь это элементарные исходы)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 20:23 


21/12/16
721

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1647855 писал(а):
При бесконечном $\Omega$, вообще говоря, есть множества элементарных исходов, не являющиеся событиями: $B \subset \Omega, B \notin \sigma$

такое и на конечном множестве бывает
надо в другую ветку уходить

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 20:27 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):
Тогда в частном случае могут ли события A,B,C,D,E,F так же быть сигма-алгеброй(ведь это элементарные исходы)?

Нет же, у вас $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$. Событиями будут некоторые подмножества, скажем, бывает событие $\{A, D, E\}$. Примером $\sigma$-алгебры будет множество всех подмножеств $2^\Omega$, в ней ни одной буквы нет, только множества из букв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Elijah96 в сообщении #1647854 писал(а):
То что тогда элемент сигма-алгебры?
Само событие?
Просто "событие".
Elijah96 в сообщении #1647854 писал(а):
Тогда причем здесь множества?
При том, что событие - это множество элементарных исходов. А сигма-алгебра - это множество событий.
Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):
Получается в моем примере множество состоящее из событий А,В и С это одна из сигма-алгебр?
Нет. Не любое семейство множеств элементарных исходов является сигма-алгеброй (там, где Вы нашли этот термин, написано, какие свойства нужны).
Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):
Исход:Выпадение грани 1(Событие А)
Тут есть проблема в связи русского языка с формальным.
Пусть $a$ - элементарный исход "выпала $1$". Тогда на практике часто "выпадением $1$" называют как элементарный исход $a$, так и событие $\{a\}$. Но их важно разделять.
$a$ - элементарный исход, но не событие
$\{a\}$ - событие, но не элементарный исход

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение30.07.2024, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1647857 писал(а):
такое и на конечном множестве бывает
надо в другую ветку уходить
Я оговорился, что обычно при конечном $\Omega$ в качестве сигма-алгебры берут булеан $\Omega$. И в этом (и только этом) случае каждое подмножество $\Omega$ есть событие.

Почему так делают, понятно. Потому что в задаче с конечным $\Omega$ обычно есть смысл приписать вероятность каждому событию вида "наступил элементарный исход $\omega$" (если смысла нет, то множество элементарных исходов в данной задаче стоит переопределить). А если каждое одноэлементное множество $\{\omega\}$ принадлежит сигма-алгебре, то и любое $A \subset \Omega$ тоже ей принадлежит как конечное объединение одноэлементных множеств $\{\omega\}$.

Если же $\Omega$ бесконечно и несчетно, то взять булеан $\Omega$ в качестве сигма-алгебры, конечно, можно, но как потом на этой сигма-алгебре определять вероятность, непонятно. При любом осмысленном выборе меры возникнут неизмеримые множества.

По-моему, все эти детали сложноваты для ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение01.08.2024, 16:54 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1647858 писал(а):
Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):
Тогда в частном случае могут ли события A,B,C,D,E,F так же быть сигма-алгеброй(ведь это элементарные исходы)?

Нет же, у вас $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$. Событиями будут некоторые подмножества, скажем, бывает событие $\{A, D, E\}$. Примером $\sigma$-алгебры будет множество всех подмножеств $2^\Omega$, в ней ни одной буквы нет, только множества из букв.


Тогда $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$ не будет ли так же подмножеством?
Ведь если сигма-алгебра это булеан,то тогда $\Omega$ так же будет подмножеством
Разве нет?

Пример:
Имеется очень толстая монета
Событиями будут:
A - Выпал орел
В - Выпала решка
С - Монета выпала на ребро
Тогда булеаном монеты будет:
$B(M)=({\varnothing}),({\Omega}),({A}),({B}),({C}),({A,B}),({A,C}),({B,C})$
Где:
$\varnothing$ - Монету не бросали
$\Omega$ - Монету все-таки бросили
Верно?

-- 01.08.2024, 17:41 --

mihaild в сообщении #1647859 писал(а):
А сигма-алгебра - это множество событий.


Вообще не обязательно чтобы именно все подмножества входили в множество,именуемой сигма-алгеброй?
Я имею ввиду следующее:
Множество $\mathfrak A,элементами которого являются подмножества множества $\Omega(не обязательно все)называется сигма-алгеброй($\sigma-алгеброй)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностное пространство
Сообщение01.08.2024, 17:46 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Elijah96 в сообщении #1648039 писал(а):
Тогда $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$ не будет ли так же подмножеством?

Конечно, это событие.
Elijah96 в сообщении #1648039 писал(а):
Тогда булеаном монеты будет:
$B(M)=({\varnothing}),({\Omega}),({A}),({B}),({C}),({A,B}),({A,C}),({B,C})$

Что такое вообще $(A)$ и т.д.? Обычно скобками обозначают упорядоченные наборы (кортежи) или используют их для группировки, но когда в скобках одна буква, это уже загадочно. Перечисление объектов через запятую тоже непонятно что такое, снаружи же нет никаких скобок. Булеаном множества $\{A, B, C\}$ будет $\{\varnothing, \{A\}, \{B\}, \{C\}, \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}, \{A, B, C\}\}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group