2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции
Сообщение25.07.2024, 22:06 


18/05/15
731
Задача 12 из задачника Вероятность в теоремах и задачах (с решениями) Книга 1, Ширяев, Эрлих, Яськов.

Надо доказать, что если $\varphi(t)$ -- характеристическая функция, то функция $|\varphi(t)|$, вообще говоря, характеристической не является. В задачнике в качестве контрпримера приводится функция $\cos t$, которая является характеристической для бернулиевской с.в., принимающей значения -1, 1 с вероятностями 1/2. Аргумент:

Функция $|\cos t|$ дифференцируема в нуле вплоть до второго порядка. Если бы функция $|\cos t|$ была характеристической, то согласно теореме 1 из Вероятность-I, гл. 2, §12 это бы означало, что она дифференцируема всюду, что, очевидно, не так.

Попытка. Пусть $\psi(t) = |\cos t|$. В теореме 1 доказываются семь основных свойств характеристических функций. Использую свойства 6 и 7. Свойство 6: если существует и является конечной $\varphi^{(2n)}(0)$, то $\mathsf{E}\xi^{2n}<\infty$. Ясно, что $\mathsf{E}\xi^{2n} = (-i)^{2n}\psi^{(2n)}(0) = 1$ для любого $n$. Из неравенства Ляпунова следует, что $\mathsf{E}|\xi|\leqslant(\mathsf{E}|\xi|^2)^{1/2}\leqslant...\leqslant (\mathsf{E}|\xi|^{2n})^{1/2n}$. Свойство 7 теоремы: если $\mathsf{E}|\xi|^n<\infty$ для всех $n\geqslant 1$, и верхний предел последовательности $\{(\mathsf{E}|\xi|^{n})^{1/n}/n\}$ равен $1/(eT)$, где $T>0$, то характеристическая функция является аналитической на интервале $(-T,T)$. В моем случае $T=\infty$ и поэтому $\psi(t)$ - аналитическая на всей оси и, значит, дифференцируема в каждой точке.

Судя по написанному в задачнике, достаточно и того, что $\psi(t)$ дифференцируема в нуле вплоть до второго порядка. Как это доказать, не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции
Сообщение25.07.2024, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Вам не нужно седьмое свойство, а нужно пятое - если у величины конечный $k$-й момент, то характеристическая функция $k$ раз дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции
Сообщение25.07.2024, 22:54 


18/05/15
731
mihaild
спасибо. Не туда понесло)..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group