2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции
Сообщение25.07.2024, 22:06 


18/05/15
729
Задача 12 из задачника Вероятность в теоремах и задачах (с решениями) Книга 1, Ширяев, Эрлих, Яськов.

Надо доказать, что если $\varphi(t)$ -- характеристическая функция, то функция $|\varphi(t)|$, вообще говоря, характеристической не является. В задачнике в качестве контрпримера приводится функция $\cos t$, которая является характеристической для бернулиевской с.в., принимающей значения -1, 1 с вероятностями 1/2. Аргумент:

Функция $|\cos t|$ дифференцируема в нуле вплоть до второго порядка. Если бы функция $|\cos t|$ была характеристической, то согласно теореме 1 из Вероятность-I, гл. 2, §12 это бы означало, что она дифференцируема всюду, что, очевидно, не так.

Попытка. Пусть $\psi(t) = |\cos t|$. В теореме 1 доказываются семь основных свойств характеристических функций. Использую свойства 6 и 7. Свойство 6: если существует и является конечной $\varphi^{(2n)}(0)$, то $\mathsf{E}\xi^{2n}<\infty$. Ясно, что $\mathsf{E}\xi^{2n} = (-i)^{2n}\psi^{(2n)}(0) = 1$ для любого $n$. Из неравенства Ляпунова следует, что $\mathsf{E}|\xi|\leqslant(\mathsf{E}|\xi|^2)^{1/2}\leqslant...\leqslant (\mathsf{E}|\xi|^{2n})^{1/2n}$. Свойство 7 теоремы: если $\mathsf{E}|\xi|^n<\infty$ для всех $n\geqslant 1$, и верхний предел последовательности $\{(\mathsf{E}|\xi|^{n})^{1/n}/n\}$ равен $1/(eT)$, где $T>0$, то характеристическая функция является аналитической на интервале $(-T,T)$. В моем случае $T=\infty$ и поэтому $\psi(t)$ - аналитическая на всей оси и, значит, дифференцируема в каждой точке.

Судя по написанному в задачнике, достаточно и того, что $\psi(t)$ дифференцируема в нуле вплоть до второго порядка. Как это доказать, не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции
Сообщение25.07.2024, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Вам не нужно седьмое свойство, а нужно пятое - если у величины конечный $k$-й момент, то характеристическая функция $k$ раз дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции
Сообщение25.07.2024, 22:54 


18/05/15
729
mihaild
спасибо. Не туда понесло)..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group