Парадокс Монти Холла

[Elijah96]

Здравствуйте,помогите разобраться с парадоксом Монти Холла по формуле Байеса

Пусть есть события:
$A1,A2,A3$ - Машина расположена за одной из трех дверей(1,2 или 3 соответственно).
$B1,B2,B3$ - Ведущий открывает одну из трех дверей(1,2 или 3 соответственно).

Пусть машина расположена за 2 дверью(событие $A2$)

Пусть игрок так же выбирает дверь номер 2

А ведущий открывает дверь номер 1(событие $B1$)

Тогда по формуле Байеса получается:

$P(A2|B1)=\dfrac{P(B1|A2)\!\ast\!P(A2)}{P(B1)}$

Вводные:

$P(B1)=P(A1)\!\ast\!P(B1|A1)+P(A2)\!\ast\!P(B1|A2)+P(A3)\!\ast\!P(B1|A3)$

$P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3$ - (Так как машина равновероятно может быть за одной из трех дверей).

$P(B1|A2)=P(B1|A3)=1/2$ - (Так как ведущий может открыть одну из двух оставшихся дверей(либо 1 либо 3,так как за второй дверью машина,а так же вторую дверь выбрал игрок,а значит открыть ее ведущий не может)

$P(A1)\!\ast\!P(B1|A1)=0$ - (Так как ведущий не может открыть дверь с машиной)

Подставляем значения в формулу Байеса и получаем:

$P(A2|B1)=\dfrac{1/3\!\ast\!1/2}{1/3\!\ast\!1/2+1/3\!\ast\!1/2}$

Отсюда выходит:

$\dfrac{1/6}{1/6+1/6=2/6=1/3}$

По правилу деления дробей получается $1/6\!\ast\!3/1=3/6=1/2$

То есть если сменить дверь то вероятность выигрыша составит 1/2,но правильное решение должно быть 2/3.

Скажите пожалуйста,в чем ошибка?

[Евгений Машеров]

$P(B_1|A_2)=\frac 1 2$, но $P(B_1|A_3)=1$
Ведущий знает, где машина, и если она за 3 дверью, и игрок выбрал дверь 2, то может открыть лишь дверь 1. Только если машина за выбранной игроком второй дверью, ведущий может случайно выбирать между 1 и 3.

[warlock66613]

Elijah96 в сообщении #1647173 писал(а):

Пусть машина расположена за 2 дверью(событие $A2$)

Пусть игрок так же выбирает дверь номер 2

А ведущий открывает дверь номер 1(событие $B1$)

Тогда всё (пред)определено и вероятности считать нет смысла. Чтобы считать вероятности что-то должно быть неизвестным. Судя по дальнейшему расчёту неизвестно где машина и неизвестно какую дверь выберет ведущий (если у него будет возможность выбирать).

[Elijah96]

Евгений Машеров в сообщении #1647183 писал(а):

$P(B_1|A_2)=\frac 1 2$, но $P(B_1|A_3)=1$
Ведущий знает, где машина, и если она за 3 дверью, и игрок выбрал дверь 2, то может открыть лишь дверь 1. Только если машина за выбранной игроком второй дверью, ведущий может случайно выбирать между 1 и 3.

Да,спасибо,там вероятность должна быть 1 а не 1/2
И тогда конечный результат будет не 1/2 а 1/3
То есть вероятность того что игрок победит не сменив дверь равна 1/3(то есть если изначально выбрать правильную дверь и затем не менять выбор)

-- 24.07.2024, 17:02 --

warlock66613 в сообщении #1647211 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647173 писал(а):

Пусть машина расположена за 2 дверью(событие $A2$)

Пусть игрок так же выбирает дверь номер 2

А ведущий открывает дверь номер 1(событие $B1$)

Тогда всё (пред)определено и вероятности считать нет смысла. Чтобы считать вероятности что-то должно быть неизвестным. Судя по дальнейшему расчёту неизвестно где машина и неизвестно какую дверь выберет ведущий (если у него будет возможность выбирать).

Где машина известна(дверь 2)и какую дверь может выбрать ведущий,так же можно посчитать,вопрос лишь в том где мои расчеты были неверны,и ошибка уже найдена

[Евгений Машеров]

Elijah96 в сообщении #1647223 писал(а):

о есть если изначально выбрать правильную дверь и затем не менять выбор

Так если изначально выбрать правильную дверь - то ничего менять не надо, она уже правильная. Только беда в том, что игрок не имеет способа выбрать правильную дверь, он выбирает случайно и с вероятностью 1/3 она окажется "правильной". А с вероятностью 2/3 правильная одна из двух других. А так как ведущий знает, какая дверь правильная, и ту, за которой машина, не откроет, то, значит, вероятность того, что за той, которая и не выбрана, и не открыта, машина с вероятностью 2/3.

[Elijah96]

Евгений Машеров в сообщении #1647226 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647223 писал(а):

о есть если изначально выбрать правильную дверь и затем не менять выбор

Так если изначально выбрать правильную дверь - то ничего менять не надо, она уже правильная. Только беда в том, что игрок не имеет способа выбрать правильную дверь, он выбирает случайно и с вероятностью 1/3 она окажется "правильной". А с вероятностью 2/3 правильная одна из двух других. А так как ведущий знает, какая дверь правильная, и ту, за которой машина, не откроет, то, значит, вероятность того, что за той, которая и не выбрана, и не открыта, машина с вероятностью 2/3.

Ведущий так же не откроет выбранную игроком дверь
Ведущий в принципе открывает всегда дверь за которой нет машины и которую не выбрал игрок(правила игры такие)
И я бы даже сказал что выбрать неправильную дверь вероятность 2/3,и чтобы выиграть то соответственно нужно изменить выбор(так как изначально дверь выбрана неправильно)
А выбрать сразу победную вероятность 1/3,и в таком случае выбор менять не нужно
Эту задачу можно решить и по комбинаторике,просто я хотел по теории вероятности,и соответственно допустил ошибку,вот и возникли вопросы

[sergey zhukov]

Elijah96
Вот тут хорошо объясняют.

[Elijah96]

sergey zhukov в сообщении #1647235 писал(а):

Elijah96
Вот тут хорошо объясняют.

В принципе о чем я и сказал

[epros]

Elijah96 в сообщении #1647231 писал(а):

(правила игры такие)

Я бы на месте ведущего слегка умолчал о правилах и давал бы игроку вторую попытку только если он угадал с первого раза. Таким образом, чтобы у игрока создавалось впечатление, что он, изменяя выбор, повышает вероятность выигрыша до 2/3, а на самом деле он понижает его до нуля. А если нам скажут, что дверь обязательно открыть, то в случае не выигрыша игрока с первой попытки открывал бы дверь с машиной и говорил: "Ой, Вам не повезло, а мне повезло".

[sergey zhukov]

epros
Ну, тут, как и везде в жизни, в первую очередь нужно знать, помогает вам ведущий, мешает, или ему все равно. Если помогает или все равно - нужно перевыбирать. А если мешает - не нужно.

[Elijah96]

epros в сообщении #1647299 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647231 писал(а):

(правила игры такие)

Я бы на месте ведущего слегка умолчал о правилах и давал бы игроку вторую попытку только если он угадал с первого раза. Таким образом, чтобы у игрока создавалось впечатление, что он, изменяя выбор, повышает вероятность выигрыша до 2/3, а на самом деле он понижает его до нуля. А если нам скажут, что дверь обязательно открыть, то в случае не выигрыша игрока с первой попытки открывал бы дверь с машиной и говорил: "Ой, Вам не повезло, а мне повезло".

У ведущего действительно есть множество вариантов поведения,и это поведение влияет на вероятность победы игрока,но сложность в том что игрок не знает какое поведение у ведущего.
Поэтому лучше быть самим ведущим чем игроком)