Задача по терверу

[Gg322]

На окружности расставлены 8 точек,вершины правильного восьмиугольника. Выбирается случайная точка, потом вторая точка. Проводится прямая через две точки, надо найти вероятность того, что количество точек на двух дужках одинаковые.
Как решить?
Я получил 1/8. Но кажется это не правда

[Евгений Машеров]

Сколькими способами можно выбрать вторую точку?

[Gg322]

Евгений Машеров в сообщении #1647144 писал(а):

Сколькими способами можно выбрать вторую точку?

Бесконечно много.
Я так считал, пусть точка задана, чтобы условие выполнялось, нужно, чтобы точка попала на противоположную дугу. Дуг всего 8, значит вероятность равна 1/8.

-- 23.07.2024, 16:53 --

Я ещё немного не так записал условие, сначала выбирается точка, потом выбирается направление и проводится прямая, которая делит окружность на две дуги

[mihaild]

Gg322 в сообщении #1647145 писал(а):

потом выбирается направление и проводится прямая, которая делит окружность на две дуги

Ну так это не то же самое что "вторая точка выбирается равномерно".
Можете считать, что дуга, на которую попадает первая точка, фиксирована (и даже половинка дуги). Теперь Вам нужно найти угол, под которым видна противоположная дуга (или сторона), в зависимости от положения первой точки, и проинтегрировать.

[Gg322]

mihaild в сообщении #1647148 писал(а):

Gg322 в сообщении #1647145 писал(а):

потом выбирается направление и проводится прямая, которая делит окружность на две дуги

Ну так это не то же самое что "вторая точка выбирается равномерно".
Можете считать, что дуга, на которую попадает первая точка, фиксирована (и даже половинка дуги). Теперь Вам нужно найти угол, под которым видна противоположная дуга (или сторона), в зависимости от положения первой точки, и проинтегрировать.

Я насчёт этого и хотел спросить, задание угла не то же самое, что задать точку? Если угол задаём, то мы можем две касательные провести, которые с помощью точек не задаются, но вероятность выбрать эти касательные ноль, поэтому задание точки или угла можно сказать равносильны (по точке угол восстанавливается, по углу точка восстанавливается). Или так делать нельзя?

[drzewo]

Вероятностным пространством является двумерный тор. Я бы его нарисовал в виде квадрата и попробовал бы на нем нарисовать области благоприятных исходов.

[mihaild]

Gg322 в сообщении #1647158 писал(а):

по точке угол восстанавливается, по углу точка восстанавливается

Да. Но это еще не означает, что равномерный выбор угла равносилен равномерному выбору точки.
При фиксированной первой точке, все устраивающие нас вторые точки лежат на дуге между соответствующими вершинами, и значит устраивающие нас направления - лежащие внутри угла, под которым из первой точки видна соответствующая сторона. Чему равен этот угол в зависимости от положения первой точки?

mihaild в сообщении #1647148 писал(а):

и проинтегрировать

(хотя вот тут я погорячился, это не понадобится)

[Gg322]

mihaild в сообщении #1647162 писал(а):

Gg322 в сообщении #1647158 писал(а):

по точке угол восстанавливается, по углу точка восстанавливается

Да. Но это еще не означает, что равномерный выбор угла равносилен равномерному выбору точки.
При фиксированной первой точке, все устраивающие нас вторые точки лежат на дуге между соответствующими вершинами, и значит устраивающие нас направления - лежащие внутри угла, под которым из первой точки видна соответствующая сторона. Чему равен этот угол в зависимости от положения первой точки?

mihaild в сообщении #1647148 писал(а):

и проинтегрировать

(хотя вот тут я погорячился, это не понадобится)

Угол равен $\frac{\pi}{8}$? И потом вероятность равна $\frac{\pi}{8\pi}=\frac{1}{8}$

[mihaild]

Да. А почему Вас этот ответ не устраивает?

[Gg322]

mihaild в сообщении #1647164 писал(а):

Да. А почему Вас этот ответ не устраивает?

Я решил не через углы, думаю что могут задачу не засчитать из-за этого.

[мат-ламер]

Первая точка может попасть куда угодно. Неважно. А вот вторая:

Gg322 в сообщении #1647145 писал(а):

нужно, чтобы точка попала на противоположную дугу. Дуг всего 8, значит вероятность равна 1/8.

Абсолютно верно! (Неявно используется, что все дуги одинаковые). И лучше написать: "нужно, чтобы вторая точка ...".

-- Вт июл 23, 2024 19:31:32 --

Gg322 в сообщении #1647139 писал(а):

надо найти вероятность того, что количество точек

Тут имеется в виду из первоначальных 8 точек.

[realeugene]

Gg322 в сообщении #1647139 писал(а):

На окружности расставлены 8 точек,вершины правильного восьмиугольника. Выбирается случайная точка, потом вторая точка.

Выбирается случайная точка из этих восьми расставленных?

[Gg322]

realeugene в сообщении #1647208 писал(а):

Gg322 в сообщении #1647139 писал(а):

На окружности расставлены 8 точек,вершины правильного восьмиугольника. Выбирается случайная точка, потом вторая точка.

Выбирается случайная точка из этих восьми расставленных?

Любая на окружности