Задача из Белоусова на оператор углового момента

[intex2dx]

Добрый день. Решаю задачу 2.4.4 из сборника Белоусова и Бурмистрова "Задачи по теоретической физике":
Используя соотношение неопределенностей для $\hat{M}_x$ и $\hat{M}_y$, определить минимальное значение выражения:

$$\langle l,l|\hat{M}_x^2 + \hat{M}_y^2|l,l \rangle$$

Есть авторское решение, представленное на скриншоте. Однако мы можем заметить, что:

$$\langle l,l|\hat{M}_x^2 + \hat{M}_y^2|l,l \rangle = \langle l,l|\hat{M}^2 - \hat{M}_z^2|l,l \rangle = l - l^2 $$

То есть значение выражения есть константа, которая не минимизируется. Есть ощущение, что у авторов допущена ошибка, т.к. соотношение неопределенностей утверждает, что есть состояние, в котором достигается минимум, но это состояние вообще не обязано совпадать с $|l,l \rangle$, да и вообще как можно минимизировать значение выражения, которое очевидно является константой.
Собственно, мой вопрос: действительно ли авторы допустили ошибку или мои рассуждения некорректны?

[amon]

intex2dx в сообщении #1646903 писал(а):

Есть авторское решение, представленное на скриншоте. Однако мы можем заметить, что:

$$\langle l,l|\hat{M}_x^2 + \hat{M}_y^2|l,l \rangle = \langle l,l|\hat{M}^2 - \hat{M}_z^2|l,l \rangle = l - l^2 $$

Чуть не так.

$$\langle l,l|\hat{M}^2 - \hat{M}_z^2|l,l \rangle =l(l+1)-l^2=l$$

А в остальном - вроде, действительно, дурацкая задача.

[intex2dx]

Да, действительно, ошибся, будет $l$, а не $l - l^2$

[amon]

intex2dx в сообщении #1646940 писал(а):

Да, действительно, ошибся, будет $l$, а не $l - l^2$

На будущее. Ответ нужно проверять на разумность. $l - l^2$ вещь отрицательная для целых $l,$ а любое среднее от $\hat{M}_x^2 + \hat{M}_y^2$ должно быть положительно (почему?).

[intex2dx]

amon в сообщении #1646969 писал(а):

intex2dx в сообщении #1646940 писал(а):

Да, действительно, ошибся, будет $l$, а не $l - l^2$

любое среднее от $\hat{M}_x^2 + \hat{M}_y^2$ должно быть положительно (почему?).

Вроде так можно это показать для любого самосопряженного оператора $\hat{A}$:

$$\langle \psi | \hat{A}^2 | \psi \rangle = \langle \hat{A}^{\dagger} \psi | \hat{A} \psi \rangle = \langle \hat{A} \psi | \hat{A} \psi\rangle \geq 0$$

[amon]

Именно так.