группа с соотношениями x^2 = y^n = e, xy = y^t x

[mathematician123]

Пусть $n, t \in \mathbb{N}$, $t^2 \equiv 1 \pmod{n}$. Правда ли, что соотношения $x^2 = y^n = e$, $xy = y^t x$ определяют группу порядка $2n$? Я проделал некоторые вычисления, но не знаю как это строго доказать.

Ясно, что все элементы группы представимы в виде $y^a x^b$. Также

$$(y^axy^bx)y^cx = y^{a + tb}x^2y^cx = y^{a + tb + c}x$$

и

$$y^ax(y^bxy^cx) = y^axy^{b + tc} = y^{a + tb + t^2c}x$$

Так как $t^2 \equiv 1 \pmod{n}$, то оба выражения равны и никаких непредвиденных соотношений не возникло.

[B@R5uk]

В общем случае есть семейство групп ранка 2:

$$G_{(mn)}=\mathbb{Z}_m\overset{k}{\rtimes}\mathbb{Z}_n=\langle\;a,\;b\;|\;a^m=I,\;b^n=I,\;ba=a^kb\;\rangle$$

Здесь должно выполняться

$$n\ge2,\quad m>k\ge2,\quad m\;|\;k^n-1$$

Если выкинуть первое соотношение (с числом m), то группа, задаваемая двумя оставшимися соотношениями будет группой с

$$m=k^n-1$$

порядка

$$n\left(k^n-1\right)$$

Доказательство здесь. В выражениях выше можно, конечно, разрешить

$$k=1$$

что, с одной стороны даст абелевы группы и снимет требование на делимость, но с другой — часть таких групп будет вырождаться в циклические группы ранка 1.

Надо ещё заметить, что при фиксированных n и m многие значения обменных степеней k не дадут никакой интересной группы; а в тех случаях, когда дадут, результирующие группы могут оказаться изоморфными для различных значений k. Почему так получается и как их отличить, обсуждалось тут.

[dgwuqtj]

Есть общая конструкция полупрямых произведений групп. У вас написано представление некоторой группы $\mathrm D_n \rtimes \mathrm C_2$, ну и любое полупрямое произведение как множество является декартовым произведением.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1646469 писал(а):

...представление некоторой группы $\mathrm C_n \rtimes \mathrm C_2$...

Поправил.

[mathematician123]

Спасибо!
Получается, гомоморфизм $\varphi : C_2 \to \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)^* \cong \text{Aut} (C_n) $ определяется значением $\varphi(x) = t$. Единственное условие: $\varphi(x)^2 = t^2 = \varphi(x^2) = e$. Отсюда получаем, что условие $t^2 \equiv 1 \pmod{n}$ необходимо и достаточно, чтобы $\varphi$ был гомоморфизмом. Тогда группы, порождённые соотношениями $x^2 = y^n = e$, $xy = y^tx$ - это всевозможные полупрямые произведения $C_n \rtimes C_2$.

[B@R5uk]

mathematician123 в сообщении #1646513 писал(а):

$\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)^* \cong \text{Aut} (C_n) $

Не знаю, что означают скобки и звёздочка, но это не верно. В общем случае, если

$$n=\prod\limits_r^{}p_r^{s_r}$$

где числа p — простые, то

$$\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_n\right)=\bigotimes\limits_{r}^{}\mathbb{Z}_{(p_r-1)p_r^{s_r-1}}$$

Для доказательства ответа на ваш вопрос, автоморфизмы не нужны. У вас есть группа, она хороша тем, что элементы (как верно заметил dgwuqtj выше) факторизуются в вид

$$g=x^ay^b$$

(Или в обратном порядке — как удобней). Вам надо показать:

• Элементы любого другого вида приводятся к данному.

Поскольку каждый элемент представим в виде строки образующих надо лишь показать, что домножение на образующие приводимо обратно к этому виду. С домножением на y результат очевиден, с домножением на x вы (вроде как) проделали вычисления выше.

• Показать, что будучи несократимой, степень a может принимать значения только 0 или 1. Это следует из группового соотношения.
• Показать, что будучи несократимой, степень b может принимать значения только от 0 до $n-1$.

С последним чуть-чуть хитрее. На образующую y в вашей задаче практически имеется два соотношения. Первое

$$y^n=e$$

дано по условию. Второе

$$y^{t^2-1}=e$$

следует из данных в условии соотношений

$$x^2=e,\quad xy=y^tx$$

Доказательство этого в общем случае приведено по моей первой ссылке выше. Эти два требования на образующую можно редуцировать в одно

$$y^{\text{НОД}\left(n,\;t^2-1\right)}=e$$

Если

$$n\;|\;t^2-1$$

то

$$\text{НОД}\left(n,\;t^2-1\right)=n$$

и ваша группа имеет желаемый порядок.

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1646539 писал(а):

это не верно

Верно, конечно. Автоморфизмы циклических групп, к счастью, вот так вот просто устроены. Звёздочка обозначает группу обратимых элементов (у кольца вычетов).