Доказать что компоненты 4-вектора - трехмерный скаляр/вектор

[Enceladoglu]

Показать, что компоненты $A_1,A_2,A_3$, четырехмерного вектора $A_i = (A_0,A_1,A_2,A_3)$ при пространственных поворотах преобразуются как компоненты трехмерного вектора $\vec{A} = (A_1,A_2,A_3)$, а компонента $A_0$ является трехмерным скаляром.
Немного не понимаю с чего даже начать..

[пианист]

А что, например, при повороте относительно оси $z$ у вектора в трехмерном пространстве компоненты $x, y$ преобразуются как при плоском повороте, а компонента $z$ не меняется?

[Enceladoglu]

пианист
А, вы говорите про поворот вокруг оси $t$ в четырехмерном пространстве ? А как это можно математически оформить ?

[Geen]

Enceladoglu в сообщении #1646327 писал(а):

поворот вокруг оси $t$ в четырехмерном пространстве

Нет, вокруг оси повернуть нельзя... можно повернуть в плоскости...

Enceladoglu в сообщении #1646318 писал(а):

Немного не понимаю с чего даже начать..

Как всегда, лучше начать с определений.

[Enceladoglu]

Geen

Цитата:

Как всегда, лучше начать с определений

4-вектор это набор компонент,которые преобразутся в соответствии с преобразованием Лоренца. Трёхмерный вектор это набор компонент, которые преобразуются с помощью матрицы поворота $A'_{i}=\alpha_{ik}A_k$(тут альфа матрица поворота в случае трехмерного вектора и матрица преобразования Лоренца в случае 4-вектора). Скаляр это величина которая не меняется при поворотах

[Enceladoglu]

Ни у кого нет никаких идей ?)

[пианист]

Ну какие идеи? Гляньте, что происходит с пространственными и временной компонентами четырехвектора при пространственном повороте.

[Enceladoglu]

пианист
Мне рассматривать поворот в плоскостях $yz$, $xy$ и $xz$ ? (последний можно в принципе не проводить, он аналогичен $xy$)
Просто мне кажется что я в этом случае еще матрицу преобразования Лоренца должен как то менять

[пианист]

Выбор вариантов поворота не понимаю, а так да - посмотреть, как компоненты повернутся.
Зачем менять какую-то матрицу, тоже не понимаю.

[Enceladoglu]

пианист
Если я повернул систему координат, то у меня уже движение будет не по Оси Х, а по какой то другой оси. Поэтому я подумал что нужно подкорректировать преобразование Лоренца.
А вообще все равно не понимаю алгоритма. Как я думал, мне нужно найти координаты трехмерного вектора до и после поворота, используя тот факт что он является компонентой 4-вектора. Затем убедиться что они действительно преобразуются как $A'_{i}=\alpha_{ik}A_k$

Цитата:

Выбор вариантов поворота не понимаю

Ну.. а какие у Вас есть варианты ?

[пианист]

Enceladoglu в сообщении #1646586 писал(а):

какие у Вас есть варианты ?

Так я же уже написал: берем $SO(1,3)$, берем ее пространственную часть, смотрим, как меняются при действии преобразований из этой части $(x,y,z)$, и как меняется $t$.
Про движения, извиняюсь, не понял.

[Enceladoglu]

пианист
Я не знаю теорию групп((
Я думаю она не нужна при решении этой задачи, а то что Вы написали наверное можно выразить более простым языком для неподготовленного разума (меня)

Цитата:

Про движения, извиняюсь, не понял.

Насчет движений, давайте с другой стороны зайдем. 4-вектор это не просто 4 ничем не связанные числа, а такие, которые преобразуются при переходе от одной системе отсчета к другой (повороте в плоскости $xt$) по заданному закону. Мы где-то используем этот факт ?
У этой задачи есть обобщение: Доказать что по отношению к чисто пространственным поворотам девять компонент $A^{11},A^{12},... $ составляют трехмерный тензор. Три компоненты $A^{01},A^{02},A^{03} $ и $A^{10},A^{20},A^{30}$ составляют трехмерные векторы, а компонента $A^{00}$ это трехмерный скаляр

[пианист]

Я про группы ничего не говорил.

Enceladoglu в сообщении #1646591 писал(а):

преобразуются при переходе от одной системе отсчета к другой (повороте в плоскости $xt$) по заданному закону. Мы где-то используем этот факт ?

Это как раз не обязательно (кстати, все-таки не стоит преобразование Лоренца именовать поворотом). Нужно использовать, как меняются $x, y, z$ (ну и $t$ до кучи)

Enceladoglu в сообщении #1646318 писал(а):

при пространственных поворотах

PS Я извиняюсь, но Вы точно понимаете смысл слов, которые используются в формулировке Вашего упражнения? ничего, кроме этого, в общем-то не нужно.

[Enceladoglu]

пианист

Цитата:

PS Я извиняюсь, но Вы точно понимаете смысл слов, которые используются в формулировке Вашего упражнения? ничего, кроме этого, в общем-то не нужно.

Не исключаю) Я под пространственными поворотами подразумеваю любое ортогональное преобразование трехмерного пространства.
Возможно я понял что Вы имейте ввиду, постараюсь это вечером написать формулками тут, но пройдет ли этот метод для 4-тензора 2-го ранга ?

[пианист]

Даже не знаю, что тут еще можно добавить. У группы Лоренца есть подгруппа, которая состоит из обычных поворотов обычного трехмерного пространства.