2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 четырехугольник из палочек
Сообщение04.12.2008, 18:04 
Даны 4 палочки и известно, что из них можно составить четырехугольник с перпендикулярными сторонами. Докажите, что из них можно составить четырехугольник с двумя прямыми углами.

 
 
 
 
Сообщение04.12.2008, 18:37 
1, 100, 51, 51. по-моему, контрпример.

 
 
 
 
Сообщение04.12.2008, 19:30 
Если две самые длинные палочки представить, как стороны некого остроугольного треугольника, то оставшиеся две палочки будут элементами высот этого треугольника, проведенных со "свободных" концов первых палочек до точки пересечения высот.

 
 
 
 
Сообщение05.12.2008, 12:09 
2 Батороев
И что, это проходит для указанного набора сторон?
Не вижу, подробнее, пожалуйста.

 
 
 
 
Сообщение05.12.2008, 13:02 
Если известен порядок расположения палочек на периметре 4-угольника - это всего две возможных комбинации, скажем:
$a$, $b$, $c$, $d$ (положительные длины сторон)
то задание угла между двумя соседними сторонами, задает все остальные углы - то есть получить второй прямой угол, если его нет, можно только изменив порядок расположения сторон.
Значит, это возможно только при определенном соотношении сторон.

Действительно, если прямой угол есть между $a$ и $b$, то третья сторона построенного на них тр-ка $\sqrt{a^2+b^2}$, и она же третья сторона тр-ка, построенного на $c$, $d$ - что возможно, если: $|c-d|<\sqrt{a^2+b^2}<c+d$.
Углы тр-ков задаются его сторонами, значит углы 4-угольника задаются длинами сторон (с данным порядком) и одним из углов.

Если прямой угол между $c$ и $d$, то должно быть $a^2+b^2=c^2+d^2$;
Если между, скажем, $b$ и $c$, то должно быть $a^2+(b-c)^2=d^2$.
Одно из этих равенств, для некоторой перестановки сторон, должно выполняться при двух прямых углах.

В то время как при одном прямом угле, для некоторой перестановки сторон должны выполняться лишь неравенства:
$(c-d)^2<a^2+b^2<(c+d)^2$.

 
 
 
 
Сообщение05.12.2008, 13:19 
Аватара пользователя
В четырехугольнике из палочек 3, 3, 3, 4 есть один прямой угол. Как сделать два?

 
 
 
 
Сообщение05.12.2008, 13:23 
Необходимо подумать, в каких четырехугольниках стороны могут быть перпендикулярны друг к другу?
Во-первых - квадрат/прямоугольник. Для них утверждение задачи - верное.
Во-вторых, четырехугольник с перпендикулярными смежными сторонами. Для них также утверждение верно, т.к. имеем два прямых угла.

Остаются четырехугольники с попарно перпендикулярными противоположными сторонами.
Как они могут выглядеть?
Для этого возьмем любой четырехугольник второго вида, т.е. с перпендикулярными смежными сторонами, выберем две стороны, превосходящие в сумме две оставшиеся.
Затем две оставшиеся стороны отсоединим и поменяем местами друг с другом, направив перпендикулярно первым попарно противоположным. Если теперь две первые соединить еще одной "запасной" палочкой, то получим треугольник с укороченными (до точки пересечения) высотами.
Мы проделали путь, обратный решаемой задаче, но из-за этого ее суть не поменялась.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

TOTAL писал(а):
В четырехугольнике из палочек 3, 3, 3, 4 есть один прямой угол. Как сделать два?

Я понял задание, как то, что каждая палочка перпендикулярна какой-либо другой.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group