ур. мат. физ. электростатика

[Mikron]

Помогите пожалуйста разобраться в задаче

Бесконечный диэлектрический цилиндр кругового сечения $r\leqslant a$ с диэлектрической постоянной $\varepsilon_1$ помещен в безграничный однородный диэлектрик с диэлектрической постоянной $\varepsilon_2$. Внешнее поле $E_0$ направлено перпендикулярно к оси цилиндра. Найти величину поляризации и дипольный момент.

Правильно ли я понимаю, что под действием внешнего поля происходит поляризация диэлектрика. И поле $E$ в диэлектрике - суперпозиция поля $E_0$ сторонних зарядов и $E_1$ связанных зарядов.

$U=U_0+U_1$

$U_0 = -E_0*z=-E_0*r*\cos \varphi$

Для нахождения $U$ и $U_1$ нужно решить уравнения:

$\bigtriangleup U=0$ при $r < a$
$\bigtriangleup U_1=0$ при $r > a$
Почему уравнения Лапласа, а не уравнения Пуассона?
С граничными условиями $r= a$ :
$U - U_1 = -E_0*a*\cos \varphi$ Это условие должно равняться нуля из-за равенства потенциалов при переходе через границу раздела двух диэлектриков, но оно не равняется нулю из-за неоднородности $-E_0*a*\cos \varphi$ ?

$\varepsilon_1*\frac {\partial U} {\partial r} - \varepsilon_2*\frac {\partial U_1} {\partial r} = -\varepsilon_2*E_0*\cos \varphi$
Нормальная составляющая поляризации при переходе герез границу раздела, но не равняется нулю так как неоднородность?

Решение ищем в виде:
$U (r,\varphi)=R(r)*cos \varphi$
$U_1 (r,\varphi)=R_1(r)*cos \varphi$
при переходе в цилиндрические координаты получается:
$r^2 R'' +r R' - R=0$ (1)
$r^2 R_1'' +r R_1' - R_1=0$ (2)
$R(a) - R_1(a) = -E_0*a$ (3)
$\varepsilon_1*R'(a) - \varepsilon_2*R_1'(a) = -\varepsilon_2*E_0$ (4)

Но при решении уравнения 1 и 2 получаются 4 константы. Но еще и граничное условие 4 прибавляет две константы. Как решить это уравнение и вообще сам ход действий у меня верный?

[Mikron]

В указаниях дается такой вид
при $r < a$
$U (r,\varphi)= \frac {-2 \varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} *E_0*r*\cos \varphi$

при $r > a$
$U_1 (r,\varphi) = -E_0 *(r+\frac {\varepsilon_1 - \varepsilon_2} {\varepsilon_1 + \varepsilon_2}\frac{a^2}{r})*\cos \varphi$

То есть если у меня все верно, то нужно найти $R$ и $R_1$. С этим и проблема

[V.V.]

К двум условиям на границе прибавьте условия ограниченности $R$ в нуле и $R_1$ на бесконечности. Получится аккурат четыре.

[Mikron]

вот блин) спасибо за помощь. Там уравнения Эйлера решаются, и из условий ограниченности с константами все ок