Уравнение в полных дифференциалах

[Mihr]

Мой вопрос навеян темой Связь и конкретно репликой Red_Herring:

Red_Herring в сообщении #1646140 писал(а):

У нас нет ОДУ, по крайней мере, в стандартном смысле, т.к. в данном примере есть одна независимая переменная, две зависимые, и одно уравнение.

Изложу своё понимание данного вопроса. Хотелось бы увидеть комментарий со стороны математиков форума: возможно, я что-то не так понимаю.
"Уравнение в полных дифференциалах" - это тема, традиционно рассматриваемая в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений. Но метод, которым решается эта задача, как мне кажется, естественно переносится на аналогичные ДУ первого порядка с любым числом переменных, то есть, на уравнения вида

$f_1(x_1, ... , x_n)dx_1+f_2(x_1, ... , x_n)dx_2+...+f_n(x_1, ... , x_n)dx_n=0$

Именно, если выполнены тождества

$\dfrac{\partial^{n-1}f_1}{\partial x_2 ... \partial x_n}=\dfrac{\partial^{n-1}f_2}{\partial x_1 \partial x_3 ... \partial x_n}=...=\dfrac{\partial^{n-1}f_n}{\partial x_1 ... \partial x_{n-1}}$

то левая часть рассматриваемого ДУ есть полный дифференциал некоторой функции $n$ переменных, и исходное уравнение может быть переписано так:

$dF(x_1, ... , x_n)=0$

что означает

$F(x_1, ... , x_n)=C$, где $C=\operatorname{const}$

Последнее уравнение естественно считать решением ДУ (в неявном виде). Если же оно разрешимо относительно какой-либо из переменных $x_1, ... , x_n$, то ответ можно записать и в явном виде.

Проиллюстрирую сказанное игрушечным примером. Пусть дано уравнение

$y^2z^3dx+2xyz^3dy+3xy^2z^2dz=0$

Требуется его проинтегрировать.
Так как выполнены тождества

$\dfrac{\partial^2(y^2z^3)}{\partial y \partial z}=\dfrac{\partial^2(2xyz^3)}{\partial z \partial x}=\dfrac{\partial^2(3xy^2z^2)}{\partial x \partial y}=6yz^2$

то данное уравнение может рассматриваться как уравнение в полных дифференциалах. Подбираем $F(x,y,z)$ исходя из условий

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=y^2z^3$

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=2xyz^3$

$\dfrac{\partial F}{\partial z}=3xy^2z^2$

Здесь, очевидно, подходит функция $F(x,y,z)=xy^2z^3$, так что общее решение исходного ДУ представимо в виде

$xy^2z^3=C$, где $C=\operatorname{const}$

Если я что-то упускаю из виду, то что именно?

[drzewo]

форма $\omega=\omega_i(x)dx^i,\quad i=1,\ldots,m$ локально является дифференциалом некоторой функции $f,\quad df=\omega$ тогда и только тогда когда $d\omega=\sum_{i<j}\Big(\frac{\partial \omega_i}{\partial x^j}-\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\Big)dx^i\wedge dx^j=0$

Но может быть так, что $\omega$ не есть полгый дифференциал, но полным дифференциалом является форма $\lambda\omega$ с некоторой функцией $\lambda(x)\ne 0$
И может быть так, что не существует интегрирующего множителя $\lambda$такого, что $\lambda\omega$ -- полный дифференциал.
Теорема Фробениуса решает вопрос об интегрируемости распределения, задаваемого системой уравнений $\omega^s_i(x)dx^i=0,\quad s=1,\ldots,k$.
Это если совсем коротко.

[Mihr]

drzewo, спасибо. Нужно будет подразобраться в смежных вопросах. Подумаю.

[svv]

Mihr, пусть дано уравнение
$-y\,dx+x\,dy+0\,dz=0$
Подчёркиваю, что независимых переменных три: $x,y,z$.

(Оффтоп)

Это не есть уравнение в полных дифференциалах. Оно не удовлетворяет условию drzewo.

Проверяем указанным Вами способом на полнодифференциальность:
$\frac{\partial^2 (-y)}{\partial y\,\partial z}=\frac{\partial^2 x}{\partial x\,\partial z}=\frac{\partial^2 0}{\partial x\,\partial y}=0$
Проверка прошла успешно. Значит, не должно быть проблем с поиском такой $F(x,y,z)$, что $dF=-y\,dx+x\,dy+0\,dz$ ?

(Оффтоп)

Допустим, такая функция существует. Тогда
$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=-y\,dx+x\,dy+0\,dz,$
откуда
$\frac{\partial F}{\partial x}=-y,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=x$
Но частные производные должны удовлетворять свойству
$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y},$
т.е.
$\frac{\partial(-y)}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x},$
что, однако, не выполняется.

[Mihr]

svv, большое спасибо за пример, убедительно.
Мой вопрос, однако, был не совсем в этом. Я привёл негодный "критерий", ну что ж, давайте заменим его указанным drzewo верным критерием. Пусть этот критерий выполняется для некоторого уравнения с $n$ переменными вида

$f_1(x_1, ... , x_n)dx_1+f_2(x_1, ... , x_n)dx_2+...+f_n(x_1, ... , x_n)dx_n=0$

где $n>2$. Вопрос: корректно ли называть такое уравнение уравнением в полным дифференциалах и считать тождество

$F(x_1, ... , x_n)=C$, где $C=\operatorname{const}$

его решением? Или здесь есть ещё какие-либо "подводные камни"?

[пианист]

Mihr в сообщении #1646251 писал(а):

корректно ли называть такое уравнение уравнением в полным дифференциалах

Никогда не слышал, но, наверное, почему бы и нет. Смысл - если выполняются условия теоремы Фробениуса, упомянутой уважаемым drzewo
$d\omega = \theta \wedge \omega$,
где $\omega$ Ваше $f_1dx_1 +.. + f_n dx_n$, $\theta$ некоторое аналогичного вида выражение, подходящим выбором переменных Ваше уравнение можно привести к виду
$dy_1=0$

[Mihr]

пианист, ОК, спасибо.

[drzewo]

Интегрирующий множитель (тот самый, который в стандартных курсах ОДУ) имеет красивую интерпретацию в терминах теории динамических систем.

Рассмотрим систему ОДУ на плоскости

$$\dot x=u(x,y),\quad \dot y=v(x,y)\qquad (*).$$

(это практически тоже самое что $\frac{dy}{dx}=...$)
Введем дифференциальную форму $\omega=udy-vdx.$ И предположим, что эта форма имеет интегрирующий множитель

$$\rho(x,y): \quad \alpha=\rho\omega,\quad d\alpha=0.$$

Тогда, легко сообразить, что функция $f,\quad df=\alpha$ является первым интегралом системы (*).

При этом условие $d\alpha=0$ равносильно следующему $\mathrm{div}\,(\rho w)=0,\quad w=(u,v)^T.$

Таким образом, если при этом еще $\rho >0$ то $\mu(D)=\int_D\rho dxdy$ -- инвариантная мера т.е. мера, сохраняемая фазовым потоком системы (*).

[svv]

Mihr в сообщении #1646251 писал(а):

Вопрос: корректно ли называть такое уравнение уравнением в полным дифференциалах и считать тождество

$F(x_1, ... , x_n)=C$, где $C=\operatorname{const}$

его решением? Или здесь есть ещё какие-либо "подводные камни"?

Да, корректно. Подводный камень — оговорка drzewo "локально", которую можно не заметить или не придать ей значения. Необходимость такой оговорки иллюстрируется классическим примером формы
$\omega=\dfrac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$
Форма $\omega$ определена всюду, кроме начала координат $O$. Для остальных точек локально существует такая $F$, что $\omega=dF$, причём $F$ равна полярному углу $\varphi$ плюс произвольная константа. Продолжить же непрерывно $F$ на $\mathbb R^2\setminus \{O\}$ не получится (как и функцию "полярный угол").

[Mihr]

svv, да, понятно, ещё раз спасибо.

[мат-ламер]

svv
Это вы рассмотрели двумерный случай. В общем случае можно почитать про односвязное пространство .

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1646223 писал(а):

так что общее решение исходного ДУ представимо в виде

$xy^2z^3=C$, где $C=\operatorname{const}$

Если я что-то упускаю из виду, то что именно?

Маленькое замечание по поводу исходного поста. (Навеяно репликой Red_Herring ).

Mihr в сообщении #1646223 писал(а):

Мой вопрос навеян темой Связь
и конкретно репликой Red_Herring:

Red_Herring в сообщении #1646140 писал(а):

У нас нет ОДУ, по крайней мере, в стандартном смысле

Mihr в сообщении #1646223 писал(а):

естественно переносится на аналогичные ДУ первого порядка с любым числом переменных, то есть, на уравнения вида

$f_1(x_1, ... , x_n)dx_1+f_2(x_1, ... , x_n)dx_2+...+f_n(x_1, ... , x_n)dx_n=0$

Если открыть классический учебник по диффурам (я ориентировался на учебник Сергеева), то это уравнение не называется дифференциальным уравнением. (У нас нет ДУ, по крайней мере, в стандартном смысле). Ибо, если оно так, то открываем начало учебника и смотрим определение ДУ - это уравнение связывает функцию и её производные. А данное уравнение обычно называется уравнением в дифференциалах. Её решение (если оно есть) - некоторая интегральная поверхность (кривая) (а не функция), в каждой точке которой касательная плоскость удовлетворяет нашему уравнению в дифференциалах.

Хотя Петровский (пар. 1.2) (для двумерного случая) говорит о новой форме записи исходного уравнения. Бибиков пишет о симметричной форме ДУ. Но всё это опять же для двумерного случая. Возможно я просто придираюсь. Вопрос чисто терминологический.

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1646499 писал(а):

данное уравнение обычно называется уравнением в дифференциалах

Я встречал название пфаффово уравнение.

[мат-ламер]

пианист в сообщении #1646502 писал(а):

Я встречал название пфаффово уравнение

Вы правы !