Помогите найти экстремумы функции

[odenscp]

Здравствуйте, есть функция и нужно найти ее экстремумы. Пытался решить эту задачу через Maple, после выражения x у меня появляются комплексные числа, можете пожалуйста объяснить что я делаю не так или подсказать альтернативные способы?

pa1 := x -> liq1*Q96*pb1/(liq1*Q96 + x*pb1);
pa2 := x -> pb2 + x*Q96/liq2;
fn2 := x -> liq1*(pb1 - pa1(x))/Q96;
fn1 := x -> liq2*Q96*(pb2 - pa2(x))/(pa2(x)*pb2);

сама функция, экстремумы которой нужно найти:

fn := fn2(fn1(x)) - x

liq1, liq2, pb1, pb2 - все это натуральные числа.
q96 - 2^96

Вот мои действия:

dfn := diff(fn, x) // получил дифференциал функции

Получаю вот такое уравнение:

dfn := liq1^2*pb1*(-Q96^2*pb1/((pb2 + x*Q96/liq2)*pb2) + Q96^3*x*pb1/((pb2 + x*Q96/liq2)^2*pb2*liq2))/(liq1*Q96 - Q96^2*x*pb1/((pb2 + x*Q96/liq2)*pb2))^2 - 1

solve(dfn, {x}) // выражаю x

Получил такие формулы:

{x = (-pb2 + pb1*I)*pb2*liq2*liq1/((liq1*pb2 - liq2*pb1)*Q96)},
{x = (-pb2 - pb1*I)*pb2*liq2*liq1/((liq1*pb2 - liq2*pb1)*Q96)}

Мне нужно получить уравнение, результат которого будет вещественное число, а почему возникло вдруг комплексное - не понимаю :)

[mihaild]

Ну Вы нашли нули производной. Как они связаны с экстремумами?

И кстати перепишите формулы в $\TeX$е, желательно приведя к читаемому виду - вроде бы у Вас там просто рациональная функция получается.

[odenscp]

mihaild в сообщении #1646020 писал(а):

Ну Вы нашли нули производной. Как они связаны с экстремумами?

И кстати перепишите формулы в $\TeX$е, желательно приведя к читаемому виду - вроде бы у Вас там просто рациональная функция получается.

Прошу прощения, значит не так выразился. Мне как раз и нужно в конечном итоге найти уравнения для получения такого Х, что бы fn2(fn1(x))-x давала наибольшее значение. При выражении X возникает I, maple так помечает корень из -1

-- 11.07.2024, 14:57 --

$pa1(x) = \frac{liq1*Q96*pb1}{liq1*Q96 + x*pb1}$
$pa2(x) = pb2 + \frac{x*Q96}{liq2}$
$fn2(x) = \frac{liq1*(pb1 - pa1(x))}{Q96}$
$fn1(x) = \frac{liq2*Q96*(pb2 - pa2(x))}{(pa2(x)*pb2)}$

Сама функция:
$fn = fn2(fn1(x)) - x$

Дифференциал:
$\mathit{dfn}\coloneqq -\frac{\mathit{Q96}^{2} \mathit{liq1}^{2} \mathit{pb1}^{2}}{\left(\mathit{liq1} \mathit{Q96}+x \mathit{pb1}\right)^{2} \left(\mathit{pb2}+\frac{\mathit{liq1} \left(\mathit{pb1}-\frac{\mathit{liq1} \mathit{Q96} \mathit{pb1}}{\mathit{liq1} \mathit{Q96}+x \mathit{pb1}}\right)}{\mathit{liq2}}\right) \mathit{pb2}}+\frac{\mathit{Q96}^{2} \mathit{liq1}^{3} \left(\mathit{pb1}-\frac{\mathit{liq1} \mathit{Q96} \mathit{pb1}}{\mathit{liq1} \mathit{Q96}+x \mathit{pb1}}\right) \mathit{pb1}^{2}}{\left(\mathit{pb2}+\frac{\mathit{liq1} \left(\mathit{pb1}-\frac{\mathit{liq1} \mathit{Q96} \mathit{pb1}}{\mathit{liq1} \mathit{Q96}+x \mathit{pb1}}\right)}{\mathit{liq2}}\right)^{2} \mathit{pb2} \left(\mathit{liq1} \mathit{Q96}+x \mathit{pb1}\right)^{2} \mathit{liq2}}-1$

Решение по X:
$\left\{x=\frac{\left(-\mathit{pb2}+\mathrm{I} \mathit{pb1}\right) \mathit{Q96} \mathit{liq1} \mathit{liq2}}{\left(\mathit{liq1} \mathit{pb1}+\mathit{liq2} \mathit{pb2}\right) \mathit{pb1}}\right\},\left\{x=\frac{\left(-\mathit{pb2}-\mathrm{I} \mathit{pb1}\right) \mathit{Q96} \mathit{liq1} \mathit{liq2}}{\left(\mathit{liq1} \mathit{pb1}+\mathit{liq2} \mathit{pb2}\right) \mathit{pb1}}\right\}$

[mihaild]

Ну это тоже нечитаемо. Потратьте время и наберите нормально, а не просто скопируйте сгенерированный maple'ом не очень хороший текст. Обозначьте нормально переменные, сделайте подстановки, приведите к общему знаменателю - получится рациональная дробь.

odenscp в сообщении #1646022 писал(а):

Мне какраз и нужно в конечном итоге найти уравнения для получения такого Х, что бы fn2(fn1(x))-x давала наибольшее значение. При выражении X возникает I, maple так помечает корень из -1

Так Вы ищете нули производной. Поэтому еще раз спрашиваю: как они связаны с максимизацией функции? Это вопрос на знание основ мат. анализа.

[odenscp]

mihaild в сообщении #1646023 писал(а):

Ну это тоже нечитаемо. Потратьте время и наберите нормально, а не просто скопируйте сгенерированный maple'ом не очень хороший текст. Обозначьте нормально переменные, сделайте подстановки, приведите к общему знаменателю - получится рациональная дробь.

odenscp в сообщении #1646022 писал(а):

Мне какраз и нужно в конечном итоге найти уравнения для получения такого Х, что бы fn2(fn1(x))-x давала наибольшее значение. При выражении X возникает I, maple так помечает корень из -1

Так Вы ищете нули производной. Поэтому еще раз спрашиваю: как они связаны с максимизацией функции? Это вопрос на знание основ мат. анализа.

В этих точках функция будет достигать своего максимума и минимума. Касательные будут параллельны оси Х, угловой коэффициент этих касательных = 0

[mihaild]

Не совсем так. Сформулируйте точно теорему о связи экстремумов и нулей производной, начиная с области определения.
И запишите функцию так, чтобы можно было прочитать. Пакеты компьютерной алгебры - это хорошая штука, если понимать, что происходит. А для этого понимания нужно потренироваться делать подобные штуки руками.