совсем простой вопрос из ТФДП

[drzewo]

взрослым дядям предлагаю отмолчаться

drzewo в сообщении #1645689 писал(а):

Через $G$ обозначим пространство гладких финитных функций $\psi$ на $\mathbb{R}$ таких, что

$$ \int_{\mathbb{R}}\psi(s)ds=0.$$

И вот оказывается, это очевидно после минутного размышления, но сперва удивляет, что $G$ плотно в $L^2(\mathbb{R})$

задача: доказать

[thething]

drzewo в сообщении #1645786 писал(а):

взрослым дядям предлагаю отмолчаться

Я взрослый, но отмалчиваться не буду, т.к. чисто через ТФДП не умею. А вот функциональный анализ говорит, что данное множество -- ядро неограниченного функционала. Если такое рассуждение и подразумевалось, то ничего страшного -- детали тоже нужно уметь восстанавливать.

[drzewo]

thething в сообщении #1645807 писал(а):

drzewo в сообщении #1645786 писал(а):

взрослым дядям предлагаю отмолчаться

Я взрослый, но отмалчиваться не буду, т.к. чисто через ТФДП не умею. А вот функциональный анализ говорит, что данное множество -- ядро неограниченного функционала. Если такое рассуждение и подразумевалось, то ничего страшного -- детали тоже нужно уметь восстанавливать.

1) Мне известен такой факт: линейный функционал $f:X\to\mathbb{R}$ на нормированном векторном пространстве $X$ неограничен тогда и только тогда когда $\ker f$ плотно в $X$.
Как применять данную теорему к этой задаче я не знаю. Ваши рассуждения мне тоже непонятны.

2) задача действительно решается средствами ТФДП

[ozheredov]

drzewo
В тфдп вводится понятие полотного в смысле нек-рой нормы множества функций? Это разве не функан?

[thething]

drzewo в сообщении #1645826 писал(а):

Ваши рассуждения мне тоже непонятны.

Раз такое решение не подразумевалось, то вот основные шаги:
1. Определяем интегральный функционал на множестве финитных бесконечно гладких, предполагаем ограниченность
2. В силу всюду плотности расширяем функционал на всё пространство с сохранением ограниченности
3. По теореме Рисса существует элемент эль-два, порождающий функционал при помощи скалярного произведения
4. Используя аналог леммы Дюбуа-Реймона, заключаем, что порождающий элемент -- почти всюду единица, т.е. не лежит в эль-два. Противоречие.

Решение чисто по ТФДП было бы интересно глянуть.

[mihaild]

А плотность просто гладких финитных функций считается известной?

[thething]

mihaild
Что Вы имеете ввиду под "просто"?

[mihaild]

То, что нас спрашивают о плотности финитных гладких функций специального вида. И вопрос - известно ли что без ограничения на вид плотность есть.

[thething]

Ну да, конечно. См., например, у Хелемского, предложение 2, стр. 530, издание 2004 года.

[drzewo]

thething в сообщении #1645840 писал(а):

1. Определяем интегральный функционал на множестве финитных бесконечно гладких, предполагаем ограниченность
2. В силу всюду плотности расширяем функционал на всё пространство с сохранением ограниченности
3. По теореме Рисса существует элемент эль-два, порождающий функционал при помощи скалярного произведения
4. Используя аналог леммы Дюбуа-Реймона, заключаем, что порождающий элемент -- почти всюду единица, т.е. не лежит в эль-два. Противоречие.

и что мы таким образом доказали? Если то, что функционал не продолжается до ограниченного функционала на $L^2$ -- я не против. Только дальше что?

[thething]

drzewo в сообщении #1645849 писал(а):

и что мы таким образом доказали?

Доказали, что функционал не может быть ограниченным на подпространстве финитных гладких функций. Следовательно, его ядро всюду плотно на этом подпространстве. Ну, и учитываем, что само подпространство тоже плотно в эль-два.

[drzewo]

thething в сообщении #1645851 писал(а):

Доказали, что функционал не может быть ограниченным на подпространстве финитных гладких функций. Следовательно, его ядро всюду плотно на этом подпространстве. ну, и учитываем, что само подпространство тоже плотно в эль-два.

ok

thething в сообщении #1645840 писал(а):

Решение чисто по ТФДП было бы интересно глянуть.

Пусть гладкая финитная функция $\psi$ такова, что $\int\psi=1$. Положим

$$\psi_\varepsilon(x):=\varepsilon\psi(\varepsilon x),\quad \varepsilon>0.$$

Ясно, что

$$\int \psi_\varepsilon=1,\quad \|\psi_\varepsilon\|_{L^2}=O(\sqrt\varepsilon),\quad \varepsilon\to 0.$$

Пусть $f\in L^2$ тогда существует гладкая финитная функция $\alpha$ такая, что

$$\|f-\alpha\|_{L^2}<\varepsilon.$$

Положим

$$\tilde \alpha=\alpha-\overline \alpha \psi_\varepsilon,\quad \overline \alpha=\int\alpha,\quad \int\tilde \alpha=0 ;$$

$$\|f-\tilde \alpha\|_{L^2}<\varepsilon+O(\sqrt\varepsilon).$$

[Padawan]

thething в сообщении #1645851 писал(а):

Доказали, что функционал не может быть ограниченным на подпространстве финитных гладких функций.

Так это очевидно. Просто сравнить значение функционала $\int_{\mathbb R} \psi(s) ds$ для функции $\psi=\text{сглаженная }\varepsilon \chi_{[0, 1/\varepsilon]}$ со значением $\|\psi\|_{L^2(\mathbb R) }$. Значит, ядро плотно в подпространстве финитных гладких, а значит, и в $L^2(\mathbb R)$. Классно.

[drzewo]

Хороший прием, да. Если только этим приемом какая-нибудь содержательная задача решится, а не такая как эта, так совсем замечательно будет.

[Padawan]

А нет никакого приёма. Просто ещё один пример, что на любую задачу можно смотреть с разных точек зрения. Например, с точки зрения матана, и с точки зрения функана. Мне ближе матан, и когда я вижу решение методом функана, меня это восхищает. Просто подтверждение того, что математика едина.

-- Ср июл 10, 2024 21:33:27 --

drzewo в сообщении #1645786 писал(а):

И вот оказывается, это очевидно после минутного размышления, но сперва удивляет

После 30 секундного в моём случае. Даже не успел удивиться.