Кусочно-гладкая поверхность по Зоричу

[Gg322]

Deathrose в сообщении #1645611 писал(а):

Что непонятного во фразе "каждая точка должна иметь окрестность, гомеоморфную диску"? Когда мы проверяем на предмет топологического многообразия мы ничего не выбрасываем. Выбрасывание точки происходит потом, когда мы проверяем второй пункт.

То что конус не двумерная поверхность понятно, но удалив точку $(0,0,0)$ я получу два дырявых диска. Это ведь верно? Если это верно, то конус по определению является кусочно гладкой поверхности по Зоричу

[svv]

Gg322 в сообщении #1645613 писал(а):

То что конус не двумерная поверхность понятно

Как не двумерная? (Извините, в тему не вчитывался и тонкостей могу не понимать.)

[Gg322]

svv в сообщении #1645619 писал(а):

Gg322 в сообщении #1645613 писал(а):

То что конус не двумерная поверхность понятно

Как не двумерная? (Извините, в тему не вчитывался и тонкостей могу не понимать.)

Там особенность в нуле. Окрестность нуля (пересеченная с конусом) нельзя гладко в плоскость отобразить.

[Deathrose]

В общем, нет, двойной конус не является двумерным кусочно гладким многообразием (в любом разумном определении "кусочно гладкого многообразия", потому что сами по себе кусочно гладкие отображения не подходят для построения атласов, т.к. их композиции не являются кусочно гладкими, и этот термин нужно уточнять, если использовать) из-за того, что он не является топологическим многообразием. А если тсу кажется, что если у чего-то можно удалить одну точку и оно станет гладким, то это что-то можно назвать "кусочно гладким многообразием", то пусть он ответит на вопрос - является ли множество $\left\{(x,y,z)\mid \displaystyle\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}} (x-1/n)^2+y^2+z^2=1/n^2\right\}$ кусочно гладким многообразием в его понимании.

(Оффтоп)

Потому что многообразием оно не является вообще ни в каком смысле, хоть разумном, хоть неразумном - и этому много разных причин.

Но точку жИ можно удалить.
Засим из темы удаляюсь.

[Gg322]

Deathrose
Определение Зорича:

Цитата:

Нульмерная кусочно-гладкая поверхность - это просто точка.
Кусочно-гладкая поверхность размерности $k$ - это поверхность размерности $k$, из которой можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края).

Ваши слова про диск с дыркой:

Цитата:

Gg322 в сообщении #1645594 писал(а):
Deathrose
Получается множество $S=\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0<x^2+y^2\right\rbrace$ не является поверхностью?

Это множество является поверхностью, у него каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную евклидову пространству (или, что то же самое, открытому шару) одной и той же размерности (в данном случае 2).

Вы говорите, что диск дыркой поверхность. Двойной конус - это объединение двух дисков с дырками и точки $(0,0,0)$. Когда мы удалим точку $(0,0,0)$, то останется два диска с дырками, которые по вашим словам поверхности. Поэтому двойной конус - это кусочно гладкая поверхность. Что здесь не так-то, я понять не могу?

[Mikhail_K]

Gg322 в сообщении #1645656 писал(а):

Что здесь не так-то, я понять не могу?

Смотрите:

Gg322 в сообщении #1645656 писал(а):

Кусочно-гладкая поверхность размерности $k$ - это поверхность размерности $k$, из которой можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края).

А как у Зорича определяется "поверхность размерности $k$"? Вроде как, выше было процитировано это определение:

vladg в сообщении #1351631 писал(а):

Поверхность в $\mathbb{R}^n$ размерности $k$ - подмножество $\mathbb{R}^n$, для любой точки которого найдется её окрестность $U$ и гомеоморфизм $\phi\colon \mathbb{R}^k \to U$ или $\phi\colon H^k \to U$, где $H^k= \{x \in \mathbb{R}^k | x^1 \leq 0\}$.

Таким образом, определение кусочно-гладкой поверхности размерности $k$ состоит из двух частей:

vladg в сообщении #1351631 писал(а):

подмножество $\mathbb{R}^n$, для любой точки которого найдется её окрестность $U$ и гомеоморфизм $\phi\colon \mathbb{R}^k \to U$ или $\phi\colon H^k \to U$, где $H^k= \{x \in \mathbb{R}^k | x^1 \leq 0\}$

Gg322 в сообщении #1645656 писал(а):

из которой можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края).

Вторая часть определения кусочно-гладкой поверхности для двойного конуса выполнена. А выполнена ли первая часть?

[Gg322]

Mikhail_K
Вы хотите сказать, что диск с дыркой не гладкая поверхность?

[Mikhail_K]

Gg322 в сообщении #1645659 писал(а):

Вы хотите сказать, что диск с дыркой не гладкая поверхность?

Гладкая. Перечитайте моё сообщение и напишите, что конкретно в нём непонятно.

-- 08.07.2024, 10:02 --

Если бы определение звучало так:

Gg322 в сообщении #1645656 писал(а):

Кусочно-гладкая поверхность размерности $k$ - это множество, из которого можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края)

то я бы не спорил.

Но определение звучит не так. Чтобы быть кусочно-гладкой поверхностью, сначала надо быть просто поверхностью:

Gg322 в сообщении #1645656 писал(а):

Кусочно-гладкая поверхность размерности $k$ - это поверхность размерности $k$, из которой можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края).

А именно это для двойного конуса не выполнено.

[Gg322]

Mikhail_K
А, все понял спасибо.