Равенство интегралов

[SomePupil]

Для действительных $a > b > 0$ и целого $n \ge 0$ доказать следующее равенство:

$$\int_0^1 \frac{x^n(1-x)^n}{((x+a)(x+b))^{n+1}}\,dx = \int_0^1 \frac{x^n(1-x)^n}{((a-b)x+(a+1)b)^{n+1}}\,dx.$$

Спасибо Цейльбергеру (который Zeilberger's algorithm) за такой красивый факт.

[mihiv]

Обозначим первый интеграл $F_n(a,b)$, а второй - $G_n(a,b)$.
Рассмотрим также два интеграла:

$$f(a,b,c)=\int_0^1 \frac {\,dx }{(x+a)(x+b)+cx(1-x)}, g(a,b,c) = \int_0^1 \frac {\,dx}{(a-b)x+(a+1)b+cx(1-x)}.$$

Вычисление дает:$f(a,b,c)\equiv g(a,b,c)=\dfrac 1R\ln \dfrac {a+b+c+2ab+R}{a+b+c+2ab-R}, R=\sqrt {a^2+b^2+c^2+2(-ab+ac+bc)+4abc}$.
Кроме того видно, что:

$$F_n(a,b)=\dfrac {(-1)^n}{n!}\dfrac {d^nf}{dc^n}|_{c=0}, G_n(a,b)=\dfrac {(-1)^n}{n!}\dfrac {d^ng}{dc^n}|_{c=0}$$

Следовательно

$$F_n(a,b)\equiv G_n(a,b)$$

так как $f\equiv g$.