Конечность интеграла произведения двух функций

[YuryS]

Revol в сообщении #1645388 писал(а):

Рассмотрим квадрат интеграла суммы функций. Он конечный. Как известно интеграл это сумма. Раскроем квадрат.

Я вернусь пока что только к этому сообщению.
По неравенству Коши-Буняковского $( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx )^{2} \leqslant \int\limits_{a}^{b} f^{2}(x)dx$
А потому знание того, что левая часть этого неравенства есть вещественное число, ничего не говорит нам о сходимости интеграла справа.

[Deathrose]

Я на всякий случай замечу, что контрпримеры к исходному утверждению были приведены:

Deathrose в сообщении #1645375 писал(а):

А точно ли это правда, если взять, например, $f = g = sin x^2 $?

-- 06.07.2024, 17:01 --

Или так: $f=g=1/\sqrt{x}$, если $x$ не ноль и не больше единицы по модулю, и равна нулю в противном случае.

Именно к утверждению из стартового поста как написано.
Если вы что-то имели в виду другое, то сформулируйте конкретно.

[drzewo]

YuryS в сообщении #1645460 писал(а):

По неравенству Коши-Буняковского $( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx )^{2} \leqslant \int\limits_{a}^{b} f^{2}(x)dx$

это не неравенство Коши-Буняковского, это просто неверная формула

-- 07.07.2024, 01:15 --

YuryS в сообщении #1645460 писал(а):

А потому знание того, что левая часть этого неравенства есть вещественное число, ничего не говорит нам о сходимости интеграла справа.

все хуже гораздо: из того, что $f^2$ интегрируема по Риману не следует, что интегрируема по Риману функция $f$

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1645459 писал(а):

приведите текст

Это фольклор.

drzewo в сообщении #1645459 писал(а):

предел может быть равен бесконечности

Не может.

[drzewo]

Вопрос вроде бы (приходится домысливать из-за крайней невнятности ТС) по существу сводится вот к чему.
Пусть $F(x)=\int_{-\infty}^xf(s)ds,\quad G(x)=\int_{-\infty}^xg(s)ds.$ где $f,g$ -- интегрируемы в несобственном смысле на $(-\infty,a],\quad \forall a$ -- это дано
Таким образом,
есть две непрерывные функции $F,G$ квадраты которых интегрируемы в несобственном смысле от $-\infty$ до $\infty$ -- это дано. Верно ли, что $FG$ интегрируема в несобственном смысле от $-\infty$ до $\infty$?
Да, верно. Применим критерий Коши:

$$\Big(\int_{a'}^{b'}-\int_{a''}^{b''}\Big)FGdx=\Big(\int_{a'}^{a''}-\int_{b'}^{b''}\Big)FGdx,\quad a',a''\to-\infty,\quad b',b''\to\infty$$

а вто теперь можно применять неравенство К-Б:

$$\Big|\int_{a'}^{a''}FGdx\Big|\le \sqrt{\int_{a'}^{a''}F^2dx}\sqrt{\int_{a'}^{a''}G^2dx}\to 0$$

[YuryS]

Я ошибся в постановке вопроса в своем начальном посте - прошу прощения...
На самом деле, это Example 3.H и Problem 3.17(a) из книги Kubrusly C.S. The Elements of Operator Theory
(https://f.eruditor.link/file/1488563/).
Там, в частности, по ходу решения требуется показать, что если функции $e_{\delta}$ и $x_{0}$ принадлежат множеству функций $X$, то $(e_{\delta} + x_{0}) \in X$.
Данный вопрос сводится, в конечном итоге, к вопросу - пусть $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx < \infty$ и $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^{2}dx < \infty$.
Показать, что $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx < \infty$.
В подсказке к Problem 3.17(a) утверждается, что это очевидно, но я пока не вижу что это так. Подскажите, плз...

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1645466 писал(а):

drzewo в сообщении #1645459

писал(а):
предел может быть равен бесконечности Не может.

это как так? Открываем любой учебник анализа...

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1645556 писал(а):

Открываем любой учебник анализа...

И читаем, что интеграл либо сходится, либо расходится. В первом случае он число, а во втором можно и нужно считать, что его как такового просто нет. Можно, конечно, считать, что он "равен бесконечности", но не нужно.

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1645559 писал(а):

И читаем, что интеграл либо сходится, либо расходится. В первом случае он число, а во втором можно и нужно считать, что его как такового просто нет.

предел не существует и предел равен бесконечности -- это разные вещи

Утундрий в сообщении #1645559 писал(а):

Можно, конечно, считать, что он "равен бесконечности", но не нужно.

Ну вот а Смирнов, например, так не думает
https://pixvid.org/va9hOo

[мат-ламер]

Фихтенгольц, п.479. Предел интеграла ... (конечный или бесконечный) называется несобственным интегралом.

[Утундрий]

Конечно тут много мнений, ведь спор идёт о словах. Мне просто странно слышать, что нечто равно бесконечности. Стремится к бесконечности — это пожалуйста, но не равно.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1645577 писал(а):

Конечно тут много мнений, ведь спор идёт о словах. Мне просто странно слышать, что нечто равно бесконечности. Стремится к бесконечности — это пожалуйста, но не равно.

В прикладных областях оперирование с бесконечностями - нормально. Р.Т.Рокафеллар. "Выпуклый анализ", пар. 4, стр.40 - вводятся правила оперирования с бесконечностями как с конкретными числами. Правда, тут не все операции возможны.

[YuryS]

Мои 5 копеек по данному оффтопику --
ПИШУТ $lim_{x\to a}f(x)=\infty$, если для любого $M>0$ можно указать окрестность радиуса $\delta$ точки $a$, для всех точек $x$ которой выполняется $f(x)>M$.
Предел не существует, если не совпадают соответствующие левосторонний и правосторонний пределы.
При определении несобственных интегралов (через пределы) используем, соответственно, терминологию для пределов.
PS
Как насчет основного вопроса темы ( см. его апдейт)?

[drzewo]

YuryS в сообщении #1645583 писал(а):

Как насчет основного вопроса темы ( см. его апдейт)?

я написал, вы не вняли. Мне лично добавить больше нечего.

[YuryS]

drzewo в сообщении #1645584 писал(а):

я написал, вы не вняли.

Попытаюсь разобраться, поскольку не силен в критерии Коши, но мне в вашем посте непонятны пределы интегрирования, которые оба равны $-\infty$.