Симметричная обратимая матрица с ограниченным следом

[Vavilen]

Привет! Поделитесь идеями пожалуйста по такой задаче: матрица $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ симметрична и обратима, а так же существует константа С, такая что для всех целых k выполнено $\left\lvert \operatorname{Tr}(A^{k}) \right\rvert \leqslant C$. Покажите, что $A^2 = E $.

Из симметричности и обратимости следует, что матрица представима в виде диагональной, у которой на диагонали собственные значения. Тогда, если какие-то из собственных значений по модулю больше единицы, то при возведении в степень трейс будет стремиться к бесконечности и условие об ограниченности трейса бы не выполнилось. Следовательно делаем вывод, что $\left\lvert \lambda_i \right\rvert \leqslant 1 $

А вот как показать, что собственные числа меньше единицы тоже не подходят?

[TOTAL]

Vavilen в сообщении #1645529 писал(а):

для всех целых k выполнено

Не здесь ли отгадка? Целые числа могут быть отрицательными.

[Vavilen]

TOTAL, похоже что да.. почему-то думал только про натуральные! Спасибо!

[Утундрий]

Фактически здесь доказано более сильное утверждение: $A=diag(\pm 1 \pm 1 \ldots \pm 1)$.

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1645745 писал(а):

Фактически здесь доказано более сильное утверждение: $A=diag(\pm 1 \pm 1 \ldots \pm 1)$

Или ей подобная...