Конечность интеграла произведения двух функций

[YuryS]

Интересует вопрос, который, наверняка, очень часто возникает - верно ли, что

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx < \infty$$

если

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)dx < \infty$$

и

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(x)dx < \infty$$

и как это формально доказать ?

В свою очередь, этот вопрос вытекает из следующего вопроса (некоторые несущественные , по моему мнению, детали я опускаю ) --
пусть $X$ есть множество "2-интегрируемых" (по Риману) функций $x$ на некотором интервале $S$; т.е., $x \in X$, если

$$\int\limits_{S} |x(s)|^2 ds < \infty$$

.
Среди этого множества $X$ выделим его подмножество $Y$ такое, что
$Y = \left\lbrace x\in X: \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\int\limits_{-\infty}^{t}x(s)ds|^2 dt < \infty \right\rbrace$.
Требуется показать, что
если $x_{1}, x_{2} \in Y$, то $(x_{1}+x_{2}) \in Y $.

[drzewo]

YuryS в сообщении #1645366 писал(а):

верно ли, что

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx < \infty$$

условие само по себе довольно бессмысленно, особенно если речь идет об интегралах Римана как там ниже написано

[Deathrose]

YuryS в сообщении #1645366 писал(а):

Интересует вопрос, который, наверняка, очень часто возникает - верно ли, что

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx < \infty$$

если

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)dx < \infty$$

и

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(x)dx < \infty$$

и как это формально доказать ?

В свою очередь, этот вопрос вытекает из следующего вопроса (некоторые несущественные , по моему мнению, детали я опускаю ) --
пусть $X$ есть множество "2-интегрируемых" (по Риману) функций $x$ на некотором интервале $S$; т.е., $x \in X$, если

$$\int\limits_{S} |x(s)|^2 ds < \infty$$

.
Среди этого множества $X$ выделим его подмножество $Y$ такое, что
$Y = \left\lbrace x\in X: \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\int\limits_{-\infty}^{t}x(s)ds|^2 dt < \infty \right\rbrace$.
Требуется показать, что
если $x_{1}, x_{2} \in Y$, то $(x_{1}+x_{2}) \in Y $.

А точно ли это правда, если взять, например, $f = g = sin x^2 $?

-- 06.07.2024, 17:01 --

Или так: $f=g=1/\sqrt{x}$, если $x$ не ноль и не больше единицы по модулю, и равна нулю в противном случае.

[Revol]

YuryS
Пусть f и g всегда больше нуля. Интеграл от этого станет только бесконечнее.
Рассмотрим квадрат интеграла суммы функций. Он конечный. Как известно интеграл это сумма. Раскроем квадрат. Получим квадраты конечных интегралов от f и g и удвоенный интеграл от fg. Наш интеграл от fg выразился как ((конечное число) - (два конечных числа)) пополам, то есть он конечный.

[TOTAL]

Revol в сообщении #1645388 писал(а):

и удвоенный интеграл от fg

и удвоенное произведение интегралов

[YuryS]

drzewo в сообщении #1645373 писал(а):

YuryS в сообщении #1645366 писал(а):

верно ли, что

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx < \infty$$

условие само по себе довольно бессмысленно, особенно если речь идет об интегралах Римана как там ниже написано

Почему ? Поясните , пожалуйста. На самом деле, элементами множества $X$, о котором говорится, являются классы эквивалентности функций, где в одном классе находятся функции, расстояние между которыми (по стандартной интегральной метрике) равно 0. Но я пока не знаю существенно ли это для вопроса, вынесенного в начало темы.

-- Сб июл 06, 2024 20:46:08 --

Revol в сообщении #1645388 писал(а):

Рассмотрим квадрат интеграла суммы функций. Он конечный. Как известно интеграл это сумма.

Почему квадрат интеграла суммы функций конечен? Как это показать ? Ведь он включает в себя интеграл от произведения функций, о котором спрашивается.
Во-вторых, интеграл - это не сумма, а предел суммы.

[TOTAL]

YuryS в сообщении #1645400 писал(а):

Почему квадрат интеграла суммы функций конечен? Как это показать ? Ведь он включает в себя интеграл от произведения функций

Не включает в себя интеграл от произведения.

[Утундрий]

Deathrose в сообщении #1645375 писал(а):

Или так: $f=g=1/\sqrt{x}$, если $x$ не ноль и не больше единицы по модулю, и равна нулю в противном случае.

Да просто любые, только пусть на хвостах ведут себя указанным способом.

[drzewo]

YuryS в сообщении #1645400 писал(а):

Почему ? Поясните , пожалуйста

во-первых, интегралы Римана бывают только от функций определенных на отрезке, если вы рассматриваете несобственный интеграл, то так и надо говорить,
во-вторых, например функция $f(x)=-e^x$ удовлетворяет вашему условию:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=-\infty<\infty$$

устраивает такой вариант?

[Утундрий]

drzewo
Ну, это уже не по делу.
$x<\infty$ общепринятое сокращение выражения "$x$ — конечно".

[Revol]

YuryS в сообщении #1645400 писал(а):

Почему квадрат интеграла суммы функций конечен? Как это показать ? Ведь он включает в себя интеграл от произведения функций, о котором спрашивается.
Во-вторых, интеграл - это не сумма, а предел суммы.

Интеграл суммы равен сумме интегралов. Предел суммы равен сумме пределов. Это в самом начале курса доказывают.

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1645413 писал(а):

drzewo
Ну, это уже не по делу.
$x<\infty$ общепринятое сокращение выражения "$x$ — конечно".

я такое общепринятое сокращение встречал только в текстах, где по ходу было ясно, что функция $x$ ограничена снизу

[Утундрий]

drzewo
Когда пишут, что "интеграл меньше бесконечности", то имеют в виду, что интеграл сходится. И, кстати, он не может быть "равен бесконечности", потому что поваленная восьмёрка не число.

[Revol]

TOTAL в сообщении #1645392 писал(а):

Revol в сообщении #1645388 писал(а):

и удвоенный интеграл от fg

и удвоенное произведение интегралов

Да. Попробуем по другому. f и g по прежнему положительные.
Наоборот, возводим в квадрат f+g и интегрируем, получили сумму интегралов от f квадрат, 2fg, g квадрат. Если интегрируемая функция интегрируется с квадратом, то задача решена.

f больше 1 на конечном интервале длины L, иначе (если L бесконечно) она не интегрируется.
За пределами этого интервала интеграл от квадрата f заведомо меньше, чем от f.
Возьмём максимальное значение f на этом интервале равное С и заменим интеграл от f его верхней оценкой CL.
Соответственно, верхняя оценка интеграла от квадрата f будет C квадрат L и она конечна.

-- 06.07.2024, 23:28 --

Неприменимо, если где-то f и g улетают в бесконечность.

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1645447 писал(а):

Когда пишут, что "интеграл меньше бесконечности", то имеют в виду, что интеграл сходится

приведите текст, где так имеют в виду, можно в виде скриншота со ссылой. Такой текст что бы там несколькими абзацами ранее не говорилось, что функция неотрицательна :)

Утундрий в сообщении #1645447 писал(а):

И, кстати, он не может быть "равен бесконечности"

несобственный интеграл -- это предел функции. предел может быть равен бесконечности