Замкнутые множества линейные операторы

[drzewo]

Мне скучно, бес(с)

В учебнике Карманова <<Математическое программирование>> написано, что координатный конус $\{x_1\ge 0,\ldots,x_m\ge 0\}$ в $\mathbb{R}^m$ переводится любым линейным оператором в замкнутое множество.

Сей факт не может не будоражить воображение. Возникает масса нездоровых вопросов. Например, а какие еще замкнутые множества переводятся в замкнутые множества всеми линейными операторами?

Определение. Линейное многообразие (плоскость) $\Pi\subset X=\mathbb{R}^m$ называется асимптотическим для множества $D\subset X$ если
1) $D\cap \Pi=\emptyset$ и
2) существует последовательность $\{x_n\}\subset D$ такая, что $|x_n|\to\infty$ и

$$\rho(x_n,\Pi)=\inf_{x\in \Pi}|x-x_n|\to 0.$$

Теорема. Предположим, что множество $D$ замкнуто и не имеет асимптотических плоскостей.
Тогда для любого оператора $A:X\to Y=\mathbb{R}^\ell$ образ $A(D)$ замкнут.

Обратное, скорее всего, тоже верно.

Вот в какой раздел это пихать? Можно в олимпиадные задачи, а можно в <<педагогику>>. Вопрос только на каком экзамене осчастливить первокурсника такой задачей, на анализе или на линейке?

Но идем дальше. А какие замкнутые конусы не имеют асимптотических плоскостей? Вот, например, попросить первокурсника доказать, что конусы, которые в линейной алгебре проходят не имеют.

[Padawan]

drzewo в сообщении #1644732 писал(а):

А какие замкнутые конусы не имеют асимптотических плоскостей?

Мне кажется, что любые.

[drzewo]

я представляю себе конус в $\mathbb{R}^3$ у которого в сечении лежит плоское замкнутое множество, ограниченное кривой имеющей асимптоту. Такой конус может быть даже выпуклым. Есть асимптотическая плоскость размерности 1

[Padawan]

Да, я понял. Самый обычный круговой конус тоже имеет асимптотическую прямую. И, соответственно, его образ может быть не замкнутым. Возьмём в $\mathbb R^3$ в плоскости $z=1$ окружность $x^2+(y-1) ^2=1$ и натянем на неё конус. Тогда ортогональная проекция этого конуса на плоскость $z=0$ не замкнута (это будет полуплоскость $y>0$ вместе с началом координат).
Ну действительно, ведь сечение конуса некой плоскостью - гипербола. Асимптота этой гиперболы и будет асимптотической прямой для конуса.

[drzewo]

drzewo в сообщении #1644732 писал(а):

Вот, например, попросить первокурсника доказать, что конусы, которые в линейной алгебре проходят не имеют.

не будем просить об этом первокурсников

[Padawan]

Возьмём конус, построенный на области, ограниченной астроидой:
$|x|^{2/3}+|y|^{2/3}\leqslant 1$, в плоскости $z=1$. Мне кажется, что его образ при любом линейном отображении замкнут. Видимо, у конуса не должно быть "выпуклостей", а " вогнутости" могут быть.

Хм. Если взять конус на самой астроиде $|x|^{2/3}+|y|^{2/3}=1$, без внутренности, то тоже вроде бы образ замкнутым будет.