Геометрия единичных кругов

[BraunDoosty]

Добрый день, столкнулся с задачей, к которой не понимаю, как подступиться. Был бы благодарен, если бы подсказали хотя бы направление, в котором нужно думать.


Даны три окружности единичного радиуса с центрами в точках X, Y, Z. Известно что у этих окружностей нет общего пересечения, но они пересекаются попарно. Пусть A - вершина из пересечения кругов X, Y такая, что у окружностей единичного радиуса с центрами в A, X, Z нет общего пересечения, но есть попарные, а также у окружностей единичного радиуса с центрами в A, Y, Z нет общего пересечения, но есть попарные. Обозначения остальных нужных точек находятся на рисунке. Пусть $z_m$ - центральная точка дуги ($a_1 b_1$), $x_m$ - центральная точка дуги ($a_1 c_1$), $y_m$ - центральная точка дуги ($b_1 c_1$). Необходимо доказать, что если $|a z_m| \leqslant 1$, а также $|a x_m| \leqslant 1$ и $|a y_m| > 1$, то $|a_2 b_2| \leqslant 1$.

Чертёж геогебра

Картинка для задачи

[svv]

BraunDoosty в сообщении #1644316 писал(а):

если $|a z_m| \leqslant 1$, а также $|a x_m| \leqslant 1$ и $|a y_m| > 1$

Что здесь означает буква $a$? На чертеже есть только $A$.

[TOTAL]

Сюда бы рисунок сделали (чтобы не шляться по ссылкам)

[BraunDoosty]

svv в сообщении #1644357 писал(а):

BraunDoosty в сообщении #1644316 писал(а):

если $|a z_m| \leqslant 1$, а также $|a x_m| \leqslant 1$ и $|a y_m| > 1$

Что здесь означает буква $a$? На чертеже есть только $A$.

Моя ошибка, $a$ и $A$ это один и тот же элемент.

[BraunDoosty]

TOTAL в сообщении #1644360 писал(а):

Сюда бы рисунок сделали (чтобы не шляться по ссылкам)

Сорри, сразу не сообразил.

[svv]

Интересно, а точки $y_m$ и $z_m$ случайно попали на синюю окружность (с центром в $A$)? Из их определения это вроде бы не следует. Точка $x_m$ вот не попала.
Если случайно, я бы сказал, что это недостаток чертежа.

[BraunDoosty]

svv в сообщении #1644378 писал(а):

Интересно, а точки $y_m$ и $z_m$ случайно попали на синюю окружность (с центром в $A$)? Из их определения это вроде бы не следует. Точка $x_m$ вот не попала.
Если случайно, я бы сказал, что это недостаток чертежа.

Синяя окружность не проходит ни через точку$z_m$ ни через точку $y_m$. Расположить окружности в соответствии с условиями задачи не просто, и эти точки оказались довольно близко к окружности. Можно посмотреть чертёж в геогебра,чтобы убедиться, что они не лежат на окружности.

[BraunDoosty]

Во время размышлений над задачей обнаружил закономерность, которая точно работает, но доказать которую пока что не могу.
Если построить единичную окружность с центром в точке $a_1$ и отметить точку пересечения этой окружности с окружностью с центром в $X$ (на рисунке эта точка обозначена $X'$), то $|a_2 b_2| \leqslant 1$ тогда и только тогда, когда $|X' b_2| \leqslant 1$. Понятно, что ситуация симметрична: также $|a_2 b_2| \leqslant 1$ тогда и только тогда, когда $|Y' a_2| \leqslant 1$. Может быть, это поможет при решении задачи.



Чертёж в геогебра

[dgwuqtj]

BraunDoosty в сообщении #1644316 писал(а):

Был бы благодарен, если бы подсказали хотя бы направление, в котором нужно думать.

А вы не пробовали какой-нибудь солвер для вещественной алгебраической геометрии?

[BraunDoosty]

dgwuqtj в сообщении #1644748 писал(а):

BraunDoosty в сообщении #1644316 писал(а):

Был бы благодарен, если бы подсказали хотя бы направление, в котором нужно думать.

А вы не пробовали какой-нибудь солвер для вещественной алгебраической геометрии?

Если честно я даже не знаю что это такое, подскажите ссылку если не сложно.

[dgwuqtj]

BraunDoosty в сообщении #1644750 писал(а):

Если честно я даже не знаю что это такое, подскажите ссылку если не сложно.

Ваша задача (как и почти любая задача в элементарной геометрии) сводится к задаче о выполнимости некоей формулы на языке вещественно замкнутых полей, то есть формул из арифметических операций сложения, вычитания, умножения, операций сравнения, логических связок и кванторов всеобщности и существования. А эта задача алгоритмически разрешима, метод называется cylindrical algebraic decomposition. Например, в системе компьютерной алгебры Sage есть подходящий пакет, вот документация с примерами. Возможно, конечно, что с вашей задачей такие алгоритмы и не справятся, если потребуется слишком много вычислений.

[BraunDoosty]

dgwuqtj в сообщении #1644770 писал(а):

BraunDoosty в сообщении #1644750 писал(а):

Если честно я даже не знаю что это такое, подскажите ссылку если не сложно.

Ваша задача (как и почти любая задача в элементарной геометрии) сводится к задаче о выполнимости некоей формулы на языке вещественно замкнутых полей, то есть формул из арифметических операций сложения, вычитания, умножения, операций сравнения, логических связок и кванторов всеобщности и существования. А эта задача алгоритмически разрешима, метод называется cylindrical algebraic decomposition. Например, в системе компьютерной алгебры Sage есть подходящий пакет, вот документация с примерами. Возможно, конечно, что с вашей задачей такие алгоритмы и не справятся, если потребуется слишком много вычислений.

Спасибо.
Я попытаюсь разобраться, но хотел бы спросить у вас: в каком виде в подобных системах я могу получить решение задачи, ведь цель - получить доказательство, а не просто убедиться, что расстояние между двумя точками действительно не превышает единицы?

[dgwuqtj]

BraunDoosty в сообщении #1644786 писал(а):

цель - получить доказательство

С этим сложнее. Алгоритм конструктивный, но доказательство, которое он выдаст, будет малочитаемым. Вместо геометрических построений там алгебраическое рассуждение, скажем, в координатах, причём не самое прямолинейное. В теории есть алгоритмы, которые выдают что-то более разумное, но не настолько универсальны (например, area method), но для них сложнее найти реализацию.

А если захотите считать в координатах или в отрезках, то механизация вычислений может действительно помочь.

[dgwuqtj]

Я так понял, что на самом деле надо, чтобы тройки кругов не пересекались, а не тройки окружностей (иначе утверждение неверно или надо уточнять условие). Вот некоторые мысли, как можно всё это дело посчитать. Введём обозначения $s_{PQ} = |PQ|^2$ при $P, Q \in \{X, Y, Z, A\}$, тогда все условия на $X$, $Y$, $Z$ запишутся в виде $s_{XY} < s_{YZ} + s_{XZ}$, $s_{XZ} < s_{XY} + s_{YZ}$, $s_{YZ} < s_{XY} + s_{XZ}$ (остроугольность $XYZ$, из неё следуют в том числе неравенства треугольника для $XYZ$ и положительность $s_{PQ}$); $s_{XY}^2 s_{YZ}^2 s_{XZ}^2 + s_{XY}^2 + s_{YZ}^2 + s_{XZ}^2 - 2 s_{XY} s_{YZ} - 2 s_{XY} s_{XZ} - 2 s_{YZ} s_{XZ} > 0$ (условие на радиус описанной окружности вокруг $XYZ$); $s_{XY}, s_{YZ}, s_{XZ} < 4$. Аналогичные условия на $A, X, Z$ и $A, Y, Z$. Кроме того, нужна положительность определителя Кэли—Менгера на $A, X, Y, Z$, чтобы такая четвёрка точек вообще существовала.

Ещё надо как-то выразить $|A z_m|$ (для $|A x_m|$, $|A y_m|$ будет аналогично) и $|a_2 b_2|$. С $|a_2 b_2| \leq 1$ проще всего, это равносильно $\angle XZY + \angle a_2 Z X + \angle b_2 Z Y \leq \pi / 3$, косинусы этих углов известны и сумма этих углов точно меньше $\pi$. Для $|A z_m| \leq 1$ получается $\angle A Z z_m = \pm(\angle X Z A - \frac 1 2 (\angle X Z Y - \angle a_1 Z X - \angle b_1 Z Y))$. Так можно записать неравенства $|A z_m| \leq 1$, $|A x_m| \leq 1$, $|A y_m| > 1$, $|a_2 b_2| > 1$ в виде условий на $s_{PQ}$. А потом проверить программой, что полученная большая система уравнений и неравенств с 6 переменными несовместна.

[dgwuqtj]

dgwuqtj в сообщении #1644869 писал(а):

нужна положительность определителя Кэли—Менгера

Тут я перепутал, определитель же должен обнуляться.