Производная обратной функции и её непрерывность

[Pripyat]

Столкнулся с формулировкой теоремы о производной обратной функции:

Цитата:

Пусть функция $y=f\left( x\right)$ в точке $x = a$ имеет конечную и отличную от нуля производную $f'(a)$ и пусть, кроме того, для неё существует однозначная обратная функция $x = g\left(y\right)$, непрерывная в соответствующей точке $y=b$, где $b=f\left(a\right)$. Тогда существует производная $g'\left(b\right)$ и она равна $g'\left(b\right) = \frac{1}{f'\left(a\right)}$

Я никак не могу привести пример функции, у которой прямая функция $y=f\left( x\right)$ непрерывная (и даже дифференцируема) в точке $x = a$, а обратная ей функция $x = g\left(y\right)$ в соответствующей точке $b=f\left(a\right)$ может быть разрывна.

Прошу помочь с подобным примером. Заранее спасибо!

[dgwuqtj]

Как будто нет такого примера. Если $f$ дифференцируема в точке и производная ненулевая, то обратная функция тоже непрерывна и дифференцируема в точке, если она существует. В доказательстве разве какие-то свойства обратной функции используются?

[Deathrose]

Pripyat в сообщении #1643499 писал(а):

Столкнулся с формулировкой теоремы о производной обратной функции:

Цитата:

Пусть функция $y=f\left( x\right)$ в точке $x = a$ имеет конечную и отличную от нуля производную $f'(a)$ и пусть, кроме того, для неё существует однозначная обратная функция $x = g\left(y\right)$, непрерывная в соответствующей точке $y=b$, где $b=f\left(a\right)$. Тогда существует производная $g'\left(b\right)$ и она равна $g'\left(b\right) = \frac{1}{f'\left(a\right)}$

Я никак не могу привести пример функции, у которой прямая функция $y=f\left( x\right)$ непрерывная (и даже дифференцируема) в точке $x = a$, а обратная ей функция $x = g\left(y\right)$ в соответствующей точке $b=f\left(a\right)$ может быть разрывна.

Прошу помочь с подобным примером. Заранее спасибо!

Такого примера не может существовать - если функция непрерывна и обратима, то ее обратная тоже непрерывна.

[Pripyat]

Спасибо, я просто не в первый раз встречаюсь с требованием непрерывности обратной функции в соотв. точке, поэтому задался этим вопросом.

В доказательстве используется в данном месте:

Цитата:

Рассмотрим отношение $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{\Delta y / \Delta x}$.
Если теперь $\Delta y \to 0$, то и $\Delta x \to 0$ ввиду непрерывности функции $x=g\left( y \right)$

[Deathrose]

Pripyat в сообщении #1643503 писал(а):

Спасибо, я просто не в первый раз встречаюсь с требованием непрерывности обратной функции в соотв. точке, поэтому задался этим вопросом.

В доказательстве используется в данном месте:

Цитата:

Рассмотрим отношение $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{\Delta y / \Delta x}$.
Если теперь $\Delta y \to 0$, то и $\Delta x \to 0$ ввиду непрерывности функции $x=g\left( y \right)$

На самом деле, это условие избыточно в нашем случае (функция $f$ обратима в окрестности и дифференцируема в точке $a$), поскольку обратимость в окрестности этой точки равносильна строгой монотонности в окрестности этой точки, а это влечет непрерывность функции $f$ в окрестности $a$ (быть может, меньшей, чем исходная окрестность).

[Pripyat]

Deathrose
Спасибо!

[vpb]

Не всё так просто... Рассмотрим такую функцию из $[0,1]$ в $[0,1]$. На $[0, 1/2]$ она везде $x$, кроме точек $1/2$, $1/3$, $\ldots$, а в этих точках ее значения суть $1/2,1/3,1/5, 1/6, 1/7,1/8, 1/10,\ldots$ и т.д. (квадраты пропущены). А в остальном произвольная, лишь бы на $[0,1]$ биективна была (такая, конечно, существует, потому что множества $(1/2,1]$ и $(1/2,1]\cup\{1/4,1/9,\ldots\}$ равномощны). Тогда она дифференцируема (справа) в нуле, а обратная в нуле не непрерывна.

[dgwuqtj]

Вообще если $f'(a) = k$, то $(k - \varepsilon) \Delta x \leq \Delta y \leq (k + \varepsilon) \Delta x$ при достаточно малых $\Delta x$ и малом $\varepsilon$. Если производная ненулевая, то коэффициенты при $\Delta x$ одного знака и можно, наоборот, ограничить $\Delta x$ через $\Delta y$ с двух сторон.

[vpb]

dgwuqtj в сообщении #1643517 писал(а):

Вообще если $f'(a) = k$, то $(k - \varepsilon) \Delta x \leq \Delta y \leq (k + \varepsilon) \Delta x$ при достаточно малых $\Delta x$ и малом $\varepsilon$. Если производная ненулевая, то коэффициенты при $\Delta x$ одного знака и можно, наоборот, ограничить $\Delta x$ через $\Delta y$ с двух сторон.

Гм. Приведенный мной пример этому вроде как противоречит. Неужто у меня ошибка ?

[dgwuqtj]

vpb в сообщении #1643518 писал(а):

Неужто у меня ошибка ?

По-моему, в вашем примере обратная функция всё-таки дифференцируема в точке.

[Markiyan Hirnyk]

В книге М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. Мир.М.:.-1968, Теорема 2.11, в многомерном случае требуется непрерывная дифференцируемость на некотором открытом множестве содержащем $a$ функции $f$ и $\det (f'(a))\neq 0$. В книге В. Зорич. Математический анализ. Т.1. Наука, М.:-1981 в Теореме 3 на с. 208 в одномерном случае требуется непрерывность обеих функций соответственно в $a$ и $f(a)$, дифференцируемость функции $f$ в точке $a$ и отличие производной $f'(a)$ от ноля.

[Deathrose]

Да, признаю, что поспешил: из дифференцируемости в точке и строгой монотонности в окрестности непрерывность сама по себе не следует. Можно и более простой контрпример привести: $f = x + x^2/[1/x]$. Производная даже ненулевая.

Так что в утверждении нужно требовать отдельно непрерывность исходной функции в окрестности, в которой ее обращаем. Однако дополнительно требовать непрерывность обратной уже избыточно, тк обратная к непрерывной функции всегда непрерывна.

[dgwuqtj]

Есть ещё такой пример. Возьмём возрастающую функцию $f \colon [0, 1] \to [0, 1]$, которая имеет разрывы величины $1 / k^2$ в точках $1 / k$, $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$. Доопределим её на $(1, 2]$ так, чтобы получилась биекция $[-1, 2] \to [-1, 1]$. Тогда обратная функция будет разрывна в нуле. Тут суть в том, что обратной функции не будет при ограничении $f$ на окрестность нуля.

[Pripyat]

Deathrose, спасибо за пример. Можно пару вопросов тогда.

1. Я так понимаю, что мы данную функцию доопределяем $f(0)=0$?
2. Как вообще, в принципе, исследовать не заданную явно функцию на непрерывность? Обратную же явно не выразить отсюда. Признаюсь, имею опыт только с явным функциями, где можно составить предел приращения функции...

[Deathrose]

Pripyat в сообщении #1643546 писал(а):

Deathrose, спасибо за пример. Можно пару вопросов тогда.

1. Я так понимаю, что мы данную функцию доопределяем $f(0)=0$?
2. Как вообще, в принципе, исследовать не заданную явно функцию на непрерывность? Обратную же явно не выразить отсюда. Признаюсь, имею опыт только с явным функциями, где можно составить предел приращения функции...

Да, все примеры в теме доопределены нулем в нуле. Поэтому условия теоремы, написанного в исходном посте, все же важны. При этом, если функция непрерывна в окрестности точки, то и ее обратная непрерывна в окрестности, поэтому в таком случае требование непрерывности обратной в исследуемой точке можно убрать.

Свойства неявно заданных функций исследуются, собственно, теоремой о неявной функции - если в условии $F(x,y)=0$, из которого вы исследуете неявно заданную функцию $y=f(x)$, функция двух переменных $F$ гладкая и производная по $F'_y(x_0,y_0)\neq 0$ ($x_0,y_0$ - точка координатной плоскости, в окрестности которой мы работаем), то будет существовать функция $y=f(x)$, причем с тем же порядком гладкости, что и F. Сказать про обратимость при этом можно то, что поскольку наша неявно заданная функция гладка, то она имеет промежутки монотонности, если только ее производная $y'(x_0)$ не равна нулю. Тогда обратимость будет. Условие гладкости $F(x,y)$ (как функции двух переменных) нельзя понизить до условия просто дифференцируемости в точке или непрерывности в окрестности из-за возможной немонотонности $F(y)$ и известных примеров непрерывных нигде не дифференцируемых функций. В этом случае неявной функции в принципе не будет существовать.