2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 17:14 


22/11/07
98
Столкнулся с формулировкой теоремы о производной обратной функции:
Цитата:
Пусть функция $y=f\left( x\right)$ в точке $x = a$ имеет конечную и отличную от нуля производную $f'(a)$ и пусть, кроме того, для неё существует однозначная обратная функция $x = g\left(y\right)$, непрерывная в соответствующей точке $y=b$, где $b=f\left(a\right)$. Тогда существует производная $g'\left(b\right)$ и она равна $g'\left(b\right) = \frac{1}{f'\left(a\right)}$


Я никак не могу привести пример функции, у которой прямая функция $y=f\left( x\right)$ непрерывная (и даже дифференцируема) в точке $x = a$, а обратная ей функция $x = g\left(y\right)$ в соответствующей точке $b=f\left(a\right)$ может быть разрывна.

Прошу помочь с подобным примером. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 17:29 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Как будто нет такого примера. Если $f$ дифференцируема в точке и производная ненулевая, то обратная функция тоже непрерывна и дифференцируема в точке, если она существует. В доказательстве разве какие-то свойства обратной функции используются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 17:30 


29/01/24
81
Pripyat в сообщении #1643499 писал(а):
Столкнулся с формулировкой теоремы о производной обратной функции:
Цитата:
Пусть функция $y=f\left( x\right)$ в точке $x = a$ имеет конечную и отличную от нуля производную $f'(a)$ и пусть, кроме того, для неё существует однозначная обратная функция $x = g\left(y\right)$, непрерывная в соответствующей точке $y=b$, где $b=f\left(a\right)$. Тогда существует производная $g'\left(b\right)$ и она равна $g'\left(b\right) = \frac{1}{f'\left(a\right)}$


Я никак не могу привести пример функции, у которой прямая функция $y=f\left( x\right)$ непрерывная (и даже дифференцируема) в точке $x = a$, а обратная ей функция $x = g\left(y\right)$ в соответствующей точке $b=f\left(a\right)$ может быть разрывна.

Прошу помочь с подобным примером. Заранее спасибо!

Такого примера не может существовать - если функция непрерывна и обратима, то ее обратная тоже непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 17:39 


22/11/07
98
Спасибо, я просто не в первый раз встречаюсь с требованием непрерывности обратной функции в соотв. точке, поэтому задался этим вопросом.

В доказательстве используется в данном месте:
Цитата:
Рассмотрим отношение $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{\Delta y / \Delta x}$.
Если теперь $\Delta y \to 0$, то и $\Delta x \to 0$ ввиду непрерывности функции $x=g\left( y \right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 17:52 


29/01/24
81
Pripyat в сообщении #1643503 писал(а):
Спасибо, я просто не в первый раз встречаюсь с требованием непрерывности обратной функции в соотв. точке, поэтому задался этим вопросом.

В доказательстве используется в данном месте:
Цитата:
Рассмотрим отношение $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{\Delta y / \Delta x}$.
Если теперь $\Delta y \to 0$, то и $\Delta x \to 0$ ввиду непрерывности функции $x=g\left( y \right)$

На самом деле, это условие избыточно в нашем случае (функция $f$ обратима в окрестности и дифференцируема в точке $a$), поскольку обратимость в окрестности этой точки равносильна строгой монотонности в окрестности этой точки, а это влечет непрерывность функции $f$ в окрестности $a$ (быть может, меньшей, чем исходная окрестность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 17:54 


22/11/07
98
Deathrose
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 19:24 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Не всё так просто... Рассмотрим такую функцию из $[0,1]$ в $[0,1]$. На $[0, 1/2]$ она везде $x$, кроме точек $1/2$, $1/3$, $\ldots$, а в этих точках ее значения суть $1/2,1/3,1/5, 1/6, 1/7,1/8, 1/10,\ldots$ и т.д. (квадраты пропущены). А в остальном произвольная, лишь бы на $[0,1]$ биективна была (такая, конечно, существует, потому что множества $(1/2,1]$ и $(1/2,1]\cup\{1/4,1/9,\ldots\}$ равномощны). Тогда она дифференцируема (справа) в нуле, а обратная в нуле не непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 19:29 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Вообще если $f'(a) = k$, то $(k - \varepsilon) \Delta x \leq \Delta y \leq (k + \varepsilon) \Delta x$ при достаточно малых $\Delta x$ и малом $\varepsilon$. Если производная ненулевая, то коэффициенты при $\Delta x$ одного знака и можно, наоборот, ограничить $\Delta x$ через $\Delta y$ с двух сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 19:39 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
dgwuqtj в сообщении #1643517 писал(а):
Вообще если $f'(a) = k$, то $(k - \varepsilon) \Delta x \leq \Delta y \leq (k + \varepsilon) \Delta x$ при достаточно малых $\Delta x$ и малом $\varepsilon$. Если производная ненулевая, то коэффициенты при $\Delta x$ одного знака и можно, наоборот, ограничить $\Delta x$ через $\Delta y$ с двух сторон.
Гм. Приведенный мной пример этому вроде как противоречит. Неужто у меня ошибка ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 19:48 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
vpb в сообщении #1643518 писал(а):
Неужто у меня ошибка ?

По-моему, в вашем примере обратная функция всё-таки дифференцируема в точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 20:14 


11/07/16
10/11/24
825
В книге М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. Мир.М.:.-1968, Теорема 2.11, в многомерном случае требуется непрерывная дифференцируемость на некотором открытом множестве содержащем $a$ функции $f$ и $\det (f'(a))\neq 0$. В книге В. Зорич. Математический анализ. Т.1. Наука, М.:-1981 в Теореме 3 на с. 208 в одномерном случае требуется непрерывность обеих функций соответственно в $a$ и $f(a)$, дифференцируемость функции $f$ в точке $a$ и отличие производной $f'(a)$ от ноля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 20:55 


29/01/24
81
Да, признаю, что поспешил: из дифференцируемости в точке и строгой монотонности в окрестности непрерывность сама по себе не следует. Можно и более простой контрпример привести: $f = x + x^2/[1/x]$. Производная даже ненулевая.

Так что в утверждении нужно требовать отдельно непрерывность исходной функции в окрестности, в которой ее обращаем. Однако дополнительно требовать непрерывность обратной уже избыточно, тк обратная к непрерывной функции всегда непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение21.06.2024, 21:00 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Есть ещё такой пример. Возьмём возрастающую функцию $f \colon [0, 1] \to [0, 1]$, которая имеет разрывы величины $1 / k^2$ в точках $1 / k$, $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$. Доопределим её на $(1, 2]$ так, чтобы получилась биекция $[-1, 2] \to [-1, 1]$. Тогда обратная функция будет разрывна в нуле. Тут суть в том, что обратной функции не будет при ограничении $f$ на окрестность нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение22.06.2024, 01:33 


22/11/07
98
Deathrose, спасибо за пример. Можно пару вопросов тогда.

1. Я так понимаю, что мы данную функцию доопределяем $f(0)=0$?
2. Как вообще, в принципе, исследовать не заданную явно функцию на непрерывность? Обратную же явно не выразить отсюда. Признаюсь, имею опыт только с явным функциями, где можно составить предел приращения функции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная обратной функции и её непрерывность
Сообщение22.06.2024, 02:05 


29/01/24
81
Pripyat в сообщении #1643546 писал(а):
Deathrose, спасибо за пример. Можно пару вопросов тогда.

1. Я так понимаю, что мы данную функцию доопределяем $f(0)=0$?
2. Как вообще, в принципе, исследовать не заданную явно функцию на непрерывность? Обратную же явно не выразить отсюда. Признаюсь, имею опыт только с явным функциями, где можно составить предел приращения функции...

Да, все примеры в теме доопределены нулем в нуле. Поэтому условия теоремы, написанного в исходном посте, все же важны. При этом, если функция непрерывна в окрестности точки, то и ее обратная непрерывна в окрестности, поэтому в таком случае требование непрерывности обратной в исследуемой точке можно убрать.

Свойства неявно заданных функций исследуются, собственно, теоремой о неявной функции - если в условии $F(x,y)=0$, из которого вы исследуете неявно заданную функцию $y=f(x)$, функция двух переменных $F$ гладкая и производная по $F'_y(x_0,y_0)\neq 0$ ($x_0,y_0$ - точка координатной плоскости, в окрестности которой мы работаем), то будет существовать функция $y=f(x)$, причем с тем же порядком гладкости, что и F. Сказать про обратимость при этом можно то, что поскольку наша неявно заданная функция гладка, то она имеет промежутки монотонности, если только ее производная $y'(x_0)$ не равна нулю. Тогда обратимость будет. Условие гладкости $F(x,y)$ (как функции двух переменных) нельзя понизить до условия просто дифференцируемости в точке или непрерывности в окрестности из-за возможной немонотонности $F(y)$ и известных примеров непрерывных нигде не дифференцируемых функций. В этом случае неявной функции в принципе не будет существовать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group