Сумма ряда по Пуассону-Абелю ?

[Divergence]

Пусть $a$ положительное вещественное число, $a>0$.

$$ \lim_{x \to 1-0} \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-x)^m}{m} \Bigl( (n-m)^a - (n+m)^a \Bigr) \, = \, a \, n^{a-1} \, + \, f(n,a) \, ? $$

при $0 < x < 1$, или эквивалентно

$$ \lim_{t \to 0+} \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^m \, e^{-m \, t}}{m} \Bigl( (n-m)^a - (n+m)^a \Bigr) \, = \, a \, n^{a-1} \, + \, f(n,a) \, ? $$

Для целых значений $a>0$ равенство верно и $f(n,a)=0$.
Для нецелых значений $a>0$ возможно есть дополнительные слагаемые $f(n,a) \ne 0$.
Как можно доказать, что верно равенство при $f(n,a)=0$ или получить явный вид функции $f(n,a) \ne 0$?

Может ли увеличить шансы, что-то доказать если использовать
$( (n-m)^2 )^{a/2} - (n+m)^2 )^{a/2}$
вместо $(n-m)^a - (n+m)^a $ ?

Буду благодарен за ссылки на русскоязычные или/и англоязычные издания или публикации.

[Markiyan Hirnyk]

Математический эксперимент с Математикой 14 наводит на предположение, что при нецелых значениях $a$ регуляризация по Абелю не работает. Действительно,

a = 11/2; n = Pi; Table[NSum[(-x)^m/m*((n - m)^a - (n + m)^a), {m, 1, Infinity}, 
  WorkingPrecision -> 25, Method -> "AlternatingSigns",   NSumTerms -> 30], {x, 0.90, 0.99, 0.01}]

выдает

{-337038.82180683045620189 - 
  52867.983446370337523 I, -472428.69341487852870622 - 
  74041.697428329240103 I, -659606.42915862456878121 - 
  103311.387981834973296 I, -917464.04773132851133352 - 
  143629.35913649412684 I, -1.27145904808160666159462*10^6 - 
  198973.53280414379851 I, -1.7557854202488848890786*10^6 - 
  274686.45884311737692 I, -2.4162268171425279567771*10^6 - 
  377920.80409175162864 I, -3.3138952677657822914242*10^6 - 
  518223.05309088326278 I, -4.5301162554003434070923*10^6 - 
  708296.11202903415191 I, -6.1727937702803569186338*10^6 - 
  964992.85810175819448 I}

Правильность вышеуказанных значений подтверждается частичной суммой

Sum[(-x)^m/m*((n - m)^a - (n + m)^a) /.   x -> 0.97000000000000000000000000000, {m, 1, 300}]

, которая производит

-7.9242206164439308155602*10^6 - 7.0641999379878348774450*10^6 I

Безуспешно пытался применить здесь регуляризацию Бореля.

[Divergence]

Markiyan Hirnyk спасибо за численную проверку.

Интересно, как получить явный вид функции $f(n,a) \ne 0$ при нецелых $a$, которая
при положительных целых значениях $a=k \in \mathbb{N}$ равна нулю ($f(n,k) = 0$).

[Markiyan Hirnyk]

Divergence Это не проверка, а вычисление суммы ряда для $a=11/2,\,n=\pi$ и значений $x$ от $0.90$ до $0.99$. Результаты указывают, что регуляризация в смысле Абеля не существует.

[Divergence]

Markiyan Hirnyk Спасибо за комментарий.

Не правильно сформулировал. Сформулирую так.
Поскольку суммирование ряда по Пуассону-Абелю не прошло, то меня интересует существование некоторого аналог формулы, написанной ниже, но не применимой для $n^a$ при нецелых положительных $a$.

Пусть $C$ — контур, охватывающий все точки $z= \pm n$, где $n \in \mathbb{N}$ (кроме точки $z=0$), и пусть $g(z)$ аналитична внутри и на $C$, за исключением, возможно, для нескольких полюсов $p_1, \cdots, p_N$ ни один из которых совпадают с $z \in \mathbb{Z}$.
Тогда удовлетворяется следующее уравнение

$$ \sum^{\infty}_{k=- \infty, \, k \ne 0} \frac{(-1)^k}{k} g[n-k] \, = \, \left( \frac{\partial g(z)}{\partial z}\right)_{z=n} \, + \, f(n,a) $$

где

$$ f(n,a) \, = \, \frac{1}{2\, \pi \, i} \int_{C} \frac{g(n-z)}{z} \frac{\pi \, dz}{\sin{\pi \, z}} \, - \, \sum^N_{j=1} \operatorname{Res}_{z=p_j} \left( \frac{\pi \, g(n-z)}{z\, \sin (\pi \, z)} \right) , $$

где $\operatorname{Res}_{z=p_j} F(z)$ - вычеты $F(z)$ в $z = p_j$.

Раздел 7.7-4 в книге Korn, G.A.; Korn, T.M.,Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Mineola, New York: McGraw-Hill, 1968.
Раздел 4.5. в книге Morse, P.M.; Feshbach, H., Methods of Theoretical Physics. Part I. New York: McGraw-Hill, 1953.