12 последовательных натуральных чисел, делители

[DmS]

Подскажите пожалуйста!
Даны 12 последовательных натуральных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше суммы своих делителей, отличных от 1 и самого числа.

[bot]

Вопрос-подсказка: а нет ли среди этих 12 чисел, числа кратного двенадцати?

[DmS]

....а дальше как? с теорией плохо - болел!

[bot]

А дальше уже и подсказывать некуда.
Впрочем, извольте - второй вопрос-подсказка:
А спроста ли я задавал первый вопрос?

[antbez]

Возьмите сначала в качестве примера числа 1.... 13 и посмотрите, что там с делителями числа 12. Потом аккуратно сдвигайте этот ряд на 12 и смотрите, какие делители добавятся у чисел, кратных 12

[DmS]

изв. , а по-подробнее нельзя - тормоз.... 2+3+4+6 ?

Добавлено спустя 9 минут 43 секунды:

[Руст]

Это не верно. Достаточно выбрать простые числа $p(i,k),k=1,2,..,12. i=1,2,...,m_k$ (все разные) и степени $n(i,k)$ так, чтобы

$$\prod_i \frac{p(i,k)^{n(i,k)+1}-1}{p(i,k)^{n(i,k)+1}-p(i,k)^{n(i,k)}} >2$$

при любом k и выбрать n так, чтобы $n+k-1$ делился на все $p(i,k)^{n(i,k)$ и получится контрпример.

[Alexiii]

12 подходит,24 подходит!
В любом наборе будет число,кратное 12.
Пусть оное 12к,где к>2.
Тогда разными делителями будут 2,3,4,6,3к,4к,6к.
Их сумма больше 13к,что больше 12к.
ЧТД

[Руст]

Вы привели пример, когда сумма собственных делителей больше. В задаче требуется показать, что хотя бы для одного из чисел (12 последовательных) сумма собственных делителей меньше. Я показал как построит контрпример последнему утверждению используя факт, что ряд

$$\sum_p \frac 1p $$

расходится.

[Alexiii]

Цитата:

Вы привели пример, когда сумма собственных делителей больше. В задаче требуется показать, что хотя бы для одного из чисел (12 последовательных) сумма собственных делителей меньше.

Цитата:

Даны 12 последовательных натуральных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше суммы своих делителей, отличных от 1 и самого числа.

Насколько я вижу,в задаче просят показать,что хотя бы одно из 12 последовательных чисел меньше суммы своих собственных делителей,то есть сумма собственных делителей больше числа,что и показал.

[Руст]

Я извиняюсь, понял как сумма собственных делителей хотя бы одного меньше числа n. Соответственно привёл пример, как построит чтобы сумма собственных делителей любого из них было больше самого числа.