Уравнение x^4+y^3+z^2=3xyz

[Edward_Tur]

Показать, что уравнение

$$x^4+y^3+z^2=3xyz$$

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

[waxtep]

Можно в лоб: $x=az^2,y=z^2$, и тогда дискриминант квадратного по $z$ уравнения $z^2-3az+a^2+1=0$ будет равен $5a^2-4$, - а решений у $d^2=5a^2-4$ в натуральных бесконечно много

[waxtep]

Я только $x$ и $z$ перепутал, конечно. В общем, можно, например, такую бесконечную серию решений предъявить:

$$\begin{cases}d_0=1,a_0=1,\\ d_n=9d_{n-1}+20a_{n-1},\\ a_n=4d_{n-1}+9a_{n-1},\\ x_n=\frac12(3a_n+d_n),y_n=x_n^2,z_n=a_nx_n^2\end{cases}$$

[Andrey A]

waxtep
Решения ур-я $d^2=5a^2-4$ проще выразить так: $\dfrac{d_n}{a_n}=\dfrac{1}{1},\dfrac{29}{13},\dfrac{d_{n+1}=18d_n-d_{n-1}}{a_{n+1}=18a_n-a_{n-1}}$ Икс и зет — это Вы сильно перепутали, конечно (то есть $x=z^2,y=az^2\ ?$), но единица возникает все равно после сокращения на $z^2.$ Верно? И тогда после Ваших допущений остается по $z$ ур-е $6$-й степени, а вовсе не квадратное ) Если ошибаюсь, дайте численных примеров.

[waxtep]

Andrey A в сообщении #1642845 писал(а):

Икс и зет — это Вы сильно перепутали, конечно (то есть $x=z^2,y=az^2\ ?$), но единица возникает все равно после сокращения на $z^2.$

Я во втором сообщении поправился, там уже в исходных обозначениях, т.е. $y=x^2,z=ax^2$, и серия дает тройки $(x,y,z): (2,4,4),(34,34^2,13\cdot34^2),(610,610^2,233\cdot610^2)\ldots$. Я все время немножко путаюсь в этих Пеллях и выписал одну из серий решений $d^2-5a^2=-4$ прямо из тождества Брюквалюба Брахмагупты

[Andrey A]

Ага, понял Вас, сократили на $x^4$ и получили кв. ур-е. Для $x=\dfrac{3a_n \pm d_n}{2}$ имеем тройки $\left( x,x^2,ax^2 \right).$
Почему тупо? Наоборот очень мило, почти как у Моцарта ) Я пробовал по типу ур-я Маркова зайти и очень быстро уперся. Edward_Tur, спасибо за приличную задачу!

Исправлено.

[Edward_Tur]

$x=y=F_{2n-1}^2,z=F_{2n-1}^3F_{2n-3}$