Импликация

[Vladimir Pliassov]

Эта тема является продолжением темы topic157093.html, в которой с моей стороны было много противоречий, вызванных моим недопониманием. Не исключено, что и в этой теме с моей стороны будет много противоречий, но мне все же кажется, что я кое-что понял, во многом благодаря помощи участников форума.

Вопрос, на который я здесь хочу найти ответ (а, может быть, и нашел?), это: почему

Определение 2. Импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными?

Найти ответ на этот вопрос в учебниках и пособиях по логике мне не удалось, там, по-моему, всегда начинают сразу с утверждения, что это так, не объясняя почему.

Я здесь написал: "Определение 2", -- это не опечатка, дело в том, что я, по-моему, нашел другое определение, которое по отношению к этому определению является первичным, потому что использует не такие внешние признаки импликации как истинность или ложность посылки и заключения, а сам принцип ее возникновения (импликации возникают парами при исключении одной из четырех конъюнкций).


Возьмем высказывания $A$, $B$ и их отрицания $\neg A$, $\neg B$ (по истинности). Составим четыре конъюнкции:

1) $\neg A\wedge \neg B$,

2) $\neg A\wedge B$,

3) $A\wedge \neg B$,

4) $A\wedge B$.

Одна из них истинная, остальные три -- ложные (например, если четвертая истинная, то первые три ложные).

Если из дизъюнкции конъюнкций

$$(\neg A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)\vee (A\wedge \neg B)\vee (A\wedge B) \eqno (1)$$

исключить одну конъюнкцию, то возникнет две импликации, одна прямая и одна обратная -- я думаю, их можно назвать сопряженными импликациями, потому что они всегда существуют в паре, причем следуют друг из друга (закон контрапозиции $(P\to Q)\leftrightarrow (\neg Q\to \neg P)$).

Например, если исключить конъюнкцию $A\wedge \neg B$:

1) $\neg A\wedge \neg B$,

2) $\neg A\wedge B$,

................

4) $A\wedge B$,

получим сопряженные импликации $A\to B$ и $\neg B \to \neg A$.

Определение 1. Назовем истинными импликации, возникающие при исключении из (1) одной из ложных конъюнкций, и ложными -- импликации, возникающие при исключении из (1) истинной конъюнкции.

Пусть высказывания $A$ и $B$ истинны, тогда истинные импликации это

$\neg A\to B, \;\; \neg B \to A$,

$ B\to A, \;\; \neg A \to \neg B$,

$A\to B$ и $\neg B \to \neg A$,

а ложные импликации это

$A\to \neg B$ и $B \to \neg A$.

Заметим, что у ложных импликаций истинная посылка и ложное заключение, а у истинных -- либо ложная посылка и ложное заключение, либо ложная посылка и истинное заключение, либо истинная посылка и истинное заключение.

Таким образом,

Определение 2. Импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными.

Определение 1 и Определение 2 эквивалентны (следуют друг из друга), но, как сказано, первое я считаю первичным, а второе -- вторичным, хотя, конечно, с этим можно не согласиться (поскольку они эквивалентны).

Достоинством второго определения является то, что по посылке и заключению импликации сразу видно, истинная она или ложная -- если знать истинность посылки и заключения.

Достоинством первого определения является то, что, как сказано, в нем используется сам принцип возникновения импликации.

Кажется, мне удалось продвинуться в понимании вопроса, что такое импликация, -- однако мне и раньше часто казалось, что мне что-то удалось, а потом выяснялось, что мне это только казалось. Так что буду, как всегда, очень благодарен за комментарии.

[dgwuqtj]

Если хотите прямо хорошо понять, что такое импликация, то изучайте математическую логику. Конкретнее, естественный вывод в какой-то слабой логике, например, интуиционистской или минимальной. Там никаких разборов случаев истинности/ложности вообще не будет, просто потому что логических значений как таковых нет (а если есть, то их много).

[Vladimir Pliassov]

dgwuqtj в сообщении #1642773 писал(а):

Если хотите прямо хорошо понять, что такое импликация, то изучайте математическую логику. Конкретнее, естественный вывод в какой-то слабой логике, например, интуиционистской или минимальной. Там никаких разборов случаев истинности/ложности вообще не будет, просто потому что логических значений как таковых нет (а если есть, то их много).

Спасибо! Надеюсь добраться и до этих логик.

Так, значит, в каждой логике существуют импликации (что, как я понимаю, не удивительно), но они в каждой логике определяются по-разному?

И, наверное, каждая логика определяется именно в зависимости от того, как в ней определяется импликация?

[dgwuqtj]

Vladimir Pliassov в сообщении #1642779 писал(а):

но они в каждой логике определяются по-разному?

Импликация — это просто логическая связка. Смысл ей обычно придаётся правилами вывода или аксиомами, которые более-менее одинаковы для всех логик. Другое дело, что систем вывода несколько, даже естественный вывод формулируют по-разному, но это же не от логики зависит. Основное отличие в том, какие ещё есть дополнительные связки и правила вывода для них. Хотя в линейной логике наоборот, убираются некоторые правила (структурные, а не правила для импликации).

Интерпретации у логик тоже разные, разумеется, в неклассических логиках обычных теоретико-множественных моделей для теорий первого порядка уже нет. Зато есть всякие категорные интерпретации.

[Mihr]

Vladimir Pliassov, во-первых, не смотрите на импликацию, как на логическое следование. Смотрите на неё просто как на формальную операцию, которая лишь в некоторых случаях напоминает следование. И сразу внутренний протест снимается, жить становится легче.
Во-вторых, житейские примеры, поясняющие именно такую таблицу истинности для импликации (понимаемой как следование) всё-таки существуют. Представьте себе, что Ваш друг Вам сказал: "Если завтра будет хорошая погода, я приду к тебе". В каком случае у Вас будут основания считать, что он Вас обманул? Очевидно, лишь в одном случае: если назавтра случилась хорошая погода, а друг всё же не пришёл.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1642782 писал(а):

Интерпретации у логик тоже разные, разумеется, в неклассических логиках обычных теоретико-множественных моделей для теорий первого порядка уже нет.

Я вот не очень понимаю, в чем смысл таких интерпретаций. Для меня, все выглядит примерно следующим образом:
1)есть нечто, существующее в реальности (например, какая-нибудь зависимость давления от высоты).
2)мы это нечто моделируем с помощью математики, т.е. ставим в соответствие этой реально существующей зависимости некоторый математический объект, например функцию $X \to \mathbb R$, $X \subset \mathbb R$.
3)далее используем развитую математическую теорию для исследования математической модели (нашей функции)
4)а затем используем результат этого исследования в реальности (или не используем, а просто наслаждаемся найденной математической теоремой).

Я не видел ни одного случая, когда нечто реальное не моделировалось бы теорией множеств. Поэтому не очень понятно, зачем нужны интерпретации не в рамках теории множеств. Что это вообще за интерпретации? Весь смысл интерпретации в сведении чего-то туманного к чему-то прозрачному и понятному. А тут мы одно странное интерпретируем в другом, более странном.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1642803 писал(а):

Я не видел ни одного случая, когда нечто реальное не моделировалось бы теорией множеств.

Вот возьмём какую-нибудь алгебраическую теорию $\mathbb T$ (скажем, групп) и декартову категорию $\mathcal C$. Групповые объекты в $\mathcal C$ — это по сути модели теории $\mathbb T$, но не теоретико-множественные, а категорные. С помощью логического вывода (в более слабой логике, чем первого порядка) можно напрямую доказывать, что в групповых объектах выполнены всякие нетривиальные тождества типа $[x, yz] = [x, y] \cdot {}^y[x, z]$. Конечно, можно и просто применить лемму Йонеды, чтобы вывести это из факта про теоретико-множественные группы.

Если в качестве $\mathcal C$ взять категорию аффинных схем над кольцом $K$, то такое тождество — это какое-то дикое утверждение про коммутативные алгебры Хопфа над $K$.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1642804 писал(а):

Вот возьмём какую-нибудь алгебраическую теорию $\mathbb T$ (скажем, групп) и декартову категорию $\mathcal C$. Групповые объекты в $\mathcal C$ — это по сути модели теории $\mathbb T$, но не теоретико-множественные, а категорные.

Так объекты категории - множества; стрелки - множества. Групповой объект - это тоже множество: упорядоченная четверка из объекта и трех морфизмов. По-моему, групповой объект - это обычная теоретико-множественная модель.

Я просто в принципе ни разу не работал с категориями, в которых объекты и стрелки не были бы множествами. Ну да, наверное в категории всех категорий объекты - не множества, а классы. Но для меня это особой роли не играет, потому что я по дефолту мыслю в рамках теории множеств с классами, типа NBG. Да и в конце концов, интересна категория не всех категорий, а малых категорий, а тут уже объекты - это нормальные честные множества.

Т.е. если все упирается в то, что "не множества" - это просто слишком большие совокупности, то это очень скучно. Для меня это все решается классами. Или есть какие-то объекты, которые принципиально не моделируются множествами?

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1642807 писал(а):

Или есть какие-то объекты, которые принципиально не моделируются множествами?

Вот буквально категория аффинных схем. Аффинная схема над коммутативным кольцом $K$ — это просто коммутативная $K$-алгебра $A$ с единицей, но морфизмы перевёрнуты, $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}_K}(A, B) = \mathrm{Hom}_{K\text{-}\mathrm{Alg}}(B, A)$. В этой категории есть произведения, которые задаются тензорным произведением колец. Полугруппа в этой категории — это алгебра $A$ вместе с гомоморфизмом $m \colon A \to A \otimes_K A$ таким, что $(m \otimes \mathrm{id}) \circ m = (\mathrm{id} \otimes m) \circ m \colon A \to A \otimes_K A \otimes_K A$. Ну а групповые объекты задаются коммутативными алгебрами Хопфа. То есть всё кодируется множествами, разумеется, но это не конкретная категория (нет вполне строго непрерывного функтора в категорию множеств, по крайней мере, очевидного). И как вы на теоретико-множественном языке хотя бы определите коммутатор $A \to A \otimes_K A$, если $A$ — групповой объект в $\mathrm{Sch}_K$?

Причём такие штуки полезны, скажем, есть групповая схема $\mathbb{SL}_n = K[x_{11}, \ldots, x_{nn}] / (\det x_{ij} - 1)$, которая представляет функтор $\mathrm{SL}_n({-})$. И иногда важны свойства именно самого кольца $\mathbb{SL}_n$ вроде плоскости и гладкости.

[Vladimir Pliassov]

Mihr в сообщении #1642783 писал(а):

не смотрите на импликацию, как на логическое следование. Смотрите на неё просто как на формальную операцию, которая лишь в некоторых случаях напоминает следование.

Мне кажется, здесь надо разобраться.

1.

Привлечем философию: есть форма, а есть содержание. Формальное следование это тоже следование, но оно не всегда совпадает с содержательным следованием. Попытаюсь пояснить.

Цитата:

Содержание утверждений А и В ... во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом по смыслу, составленное из них условное утверждение может быть истинным.

https://books.ifmo.ru/file/pdf/1335.pdf,стр. 19

Возьмем два произвольных высказывания, желательно, не связанных друг с другом и необязательно истинных, например, знаменитые $A=$"Дважды два -- пять" и $B=$"Я Папа Римский" и к ним контрвысказывания $\neg A=$"Дважды два -- не пять" и $\neg B=$"Я не Папа Римский".

Составим четыре конъюнкции

1) $\neg A\wedge \neg B$,

2) $\neg A\wedge B$,

3) $A\wedge \neg B$,

4) $A\wedge B$.

Для того, чтобы возникли какие-нибудь импликации, надо исключить какую-то конъюнкцию, все равно, какую, исключим первую -- "Дважды два -- не пять" и "Я не Папа Римский" (обведем ее траурной рамкой):

1) $\boxed {\neg A\wedge \neg B}$,

2) $\neg A\wedge B$,

3) $A\wedge \neg B$,

4) $A\wedge B$.

Отсюда имеем две сопряженные импликации:

$\neg A\to B$ -- из "Дважды два -- не пять" следует "Я Папа Римский", и

$\neg B\to A$ -- из "Я не Папа Римский следует "Дважды два -- пять".

Что, неужели в жизни (в действительности) из того, что дважды два -- не пять, следует, что я Папа Римский, и из того, что я не Папа Римский следует, что дважды два -- пять?

Нет, конечно!

Следует вовсе не то, что дважды два -- пять, и вовсе не из того, что я не Папа Римский. Следует совсем другое из совсем другого (но следует!).

На бумажке было написано четыре строчки:

1) "Дважды два -- не пять" и "Я не Папа Римский",

2) "Дважды два -- не пять" и "Я Папа Римский",

3) "Дважды два -- пять" и "Я не Папа Римский",

4) "Дважды два -- пять" и "Я Папа Римский".

Пока ни одна строчка не была зачеркнута, какое предложение было в паре с предложением "Дважды два -- не пять"? Когда как: в одном случае "Я не Папа Римский", в другом -- "Я Папа Римский", то есть из того, что в строчке было предложение "Дважды два -- не пять", не следовало ни то, что в этой же строчке стоит предложение "Я не Папа Римский", ни то, что этой же строчке стоит предложение "Я Папа Римский".

Но вот мы зачеркнули первую строчку:

1) "Дважды два -- не пять" и "Я не Папа Римский",

2) "Дважды два -- не пять" и "Я Папа Римский",

3) "Дважды два -- пять" и "Я не Папа Римский",

4) "Дважды два -- пять" и "Я Папа Римский", --

или, лучше, стерли ее:

2) "Дважды два -- не пять" и "Я Папа Римский",

3) "Дважды два -- пять" и "Я не Папа Римский",

4) "Дважды два -- пять" и "Я Папа Римский", --

и из того, что в строчке стоит предложение "Дважды два -- не пять", стало следовать, что в этой же строчке стоит предложение "Я Папа Римский".

Вот что и вот из чего следует: из того, что в строчке стоит предложение $\neg A$, следует, что в этой же строчке стоит предложение $B$ -- то есть имеем формальное следование.

Но содержательного следования -- "из того, что дважды два -- не пять, следует, что я Папа Римский", -- не имеем.

2.

Заметим, что пока речи не было о том, истинны или ложны полученные импликации. Для того, чтобы определить их истинность, надо назначить одну из четырех конъюнкций истинной, а остальные, соответственно, ложными. Именно назначить, потому что логика формальна, для нее не имеет значения, соответствует ли истинность формы истинности содержания (я имею в виду логику строчек из двух предложений, которым, так сказать, все равно, что в них написано, но только каждое предложение должно иметь свое отрицание в двух соответствующих строчках).

То есть не только сама импликация формальна, но и ее истинность или ложность тоже формальны.

Назначим истинную конъюнкцию по жребию, допустим, он пал на третью конъюнкцию.

Итак, поскольку третья конъюнкция $A\wedge \neg B$: "Дважды два -- пять" и "Я не Папа Римский" -- истинная, то первая конъюнкция $\neg A\wedge \neg B$: "Дважды два -- не пять" и "Я не Папа Римский" -- которую мы исключили, -- ложная (потому что из четырех конъюнкций одна истинная, а остальные три -- ложные), и, значит, полученные импликации

$\neg A\to B$ -- из "Дважды два -- не пять" следует "Я Папа Римский", и

$\neg B\to A$ -- из "Я не Папа Римский" следует "Дважды два -- пять"

истинны -- по Определению 1 из первого сообщение темы

(Определение 1. Назовем истинными импликации, возникающие при исключении из дизъюнкции

$$(\neg A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)\vee (A\wedge \neg B)\vee (A\wedge B) \eqno (1)$$

одной из ложных конъюнкций, и ложными -- импликации, возникающие при исключении из (1) истинной конъюнкции.)

Истинны по определению, но в определении сказано, что они называются истинными, а назвать можно что угодно чем угодно, их можно было назвать сентиментальными или жаропонижающими, важно, чтобы при употреблении в отношении импликации кодового слова "истинная", "сентиментальная" или "жаропонижающая" имелось в виду, что эта импликация возникает при исключении из (1) одной из ложных конъюнкций.

Прилагательное "истинные" при полученных импликациях это условность, опознавательный знак, и не надо пытаться увидеть что-то истинное в предложении "Из того, что я не Папа Римский, следует, что дважды два -- пять" (если для этого нет содержательного основания -- об этом ниже).

3.

Однако

Цитата:

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением

Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах (взято из Википедии).

То есть иногда форма по смыслу соответствует содержанию.

Допустим, на совете кардиналов мне сказали: "Не будем входить в подробности, но в результате дискуссии мы пришли к тому, что если дважды два -- не пять, ты должен стать Папой. Дважды два -- пять, или нет?" -- "Нет", -- "Тогда провозглашаем тебя Папой!" То есть, в самом деле, из того, что дважды два -- не пять, последовало, что я Папа Римский.

Правильно ли я понимаю?

[Mihr]

Vladimir Pliassov в сообщении #1642812 писал(а):

Привлечем философию: есть форма, а есть содержание.

Я полагаю, в математических терминах нет никакого содержания сверх их определений (есть, конечно, и неопределяемые понятия, но их двузначное толкование, как мне кажется, невозможно). Существует определение импликации, - этого вполне достаточно, чтобы с ней работать. Если же Вы склонны искать какие-то "глубинные смыслы" в определениях или, тем паче, разводить "философию", то... что ж, на здоровье. Но лично я в этом смысла не вижу.

[epros]

Vladimir Pliassov, Вы опять вернулись на путь перемалывания банального факта, что в классической (двузначной) логике импликация задаётся известной таблицей истинности. Сколько Вы ни обсасывайте это с разных сторон, ничего нового не высосете.

Mihr в сообщении #1642783 писал(а):

Vladimir Pliassov, во-первых, не смотрите на импликацию, как на логическое следование. Смотрите на неё просто как на формальную операцию, которая лишь в некоторых случаях напоминает следование. И сразу внутренний протест снимается, жить становится легче.

По-моему, Вы сейчас направляете его по пути отказа от понимания, на котором он и так завяз. Изначальный смысл импликации - как раз в том, что она должна выражать логическое следование. И то, что классической логике не удалось свести логическое следование к выводимости, это дефект классической логики. Стараясь замаскировать этот дефект, мы сейчас говорим: "Мы вовсе и не хотели придавать импликации смысл выводимости, это просто такая бинарная функция от логических значений". Да на фига тогда такая функция вообще нужна?

EminentVictorians в сообщении #1642803 писал(а):

Для меня, все выглядит примерно следующим образом:
1)есть нечто, существующее в реальности (например, какая-нибудь зависимость давления от высоты).
2)мы это нечто моделируем с помощью математики, т.е. ставим в соответствие этой реально существующей зависимости некоторый математический объект, например функцию $X \to \mathbb R$, $X \subset \mathbb R$.
3)далее используем развитую математическую теорию для исследования математической модели (нашей функции)
4)а затем используем результат этого исследования в реальности (или не используем, а просто наслаждаемся найденной математической теоремой).

Прокомментирую со своей точки зрения:
1) Это бессмысленный набор слов. Что такое "нечто, существующее в реальности"? Пока Вы не произнесёте какие-то связные утверждения, у Вас нет никакого суждения о том, что "существует в реальности".
2) С помощью математики, а также более простыми средствами, т.е. с помощью естественного языка, возможно обогащённого какими-то специальными терминами, мы не "ставим в соответствие" математические объекты с этим непонятно чем. На самом деле мы просто строим некую теорию, в надежде, что она окажется полезной для применения в некой предметной области. И "предметная область" - это не непонятное "нечто, существующее непонятно где", а некое подмножество наблюдаемых явлений, которое мы как раз и выделяем по тому признаку, что оно по нашему мнению должно хорошо описываться данной теорией. Только когда мы принимаем решение о том, что данной теорией должно хорошо описываться такое-то подмножество наблюдаемых явлений, только тогда мы "ставим в соответствие" теоретические объекты наблюдаемым, и никак иначе.
3) Не понимаю этих слов. Теория - и есть "модель". Если Вы имеете в виду "модель" в смысле теории моделей, т.е. некое множество, то она тоже строится в рамках моделирующей теории (и в отношении моделируемой теории).
4) "В реальности" используются теоретические выводы. Т.е. когда мы применяем теорию к наблюдаемым явлениям, то:
а) в качестве начальных условий используем наблюдаемое в настоящий момент, дав ему интерпретацию в форме теоретических утверждений;
б) из данных теоретических утверждений делаем некие теоретические выводы;
в) применяем эти теоретические выводы к будущим наблюдаемым явлениям и радуемся соответствиям (или огорчаемся несоответствиям).
Какое отношение имеет к этому "исследование математической модели с использованием математической теории" я не понимаю.

-- Вс июн 16, 2024 10:33:53 --

Vladimir Pliassov, обратите внимание вот на это воистину мудрое замечание:

dgwuqtj в сообщении #1642773 писал(а):

Если хотите прямо хорошо понять, что такое импликация, то изучайте математическую логику. Конкретнее, естественный вывод в какой-то слабой логике, например, интуиционистской или минимальной. Там никаких разборов случаев истинности/ложности вообще не будет, просто потому что логических значений как таковых нет (а если есть, то их много).

Так что лучше прекращайте копания в "логических значениях", которые на самом деле никому особо не нужны. Сосредоточьтесь на понимании того, что логика - это система правил манипулирования утверждениями, т.е. вывода одних утверждений из других. Так что важны не "логические значения", а выводимость.

[Mihr]

epros в сообщении #1642850 писал(а):

И то, что классической логике не удалось свести логическое следование к выводимости, это дефект классической логики.

Есть всего шестнадцать булевых функций двух аргументов. Две из них ($x\to y$, $y\to x$) в некоторых случаях напоминают логическое следование. Остальные четырнадцать функций напоминают следование ещё меньше. Что в такой ситуации значит "дефект"? Просто нет в двузначной логике функции с подходящими свойствами. Это нужно просто принять. А не искать некий дополнительный смысл в известных определениях. Я полагаю так.
Иногда вместо "импликация" говорят "материальная импликация". Подчёркивая тем самым, что импликация - лишь грубая модель следования (выводимости). Говорят также о "парадоксах материальной импликации", когда хотят сильнее подчеркнуть тот же факт.
Это не значит, что понятие выводимости вообще нельзя смоделировать лучше. Можно. Но только не средствами алгебры логики (или теории булевых функций). Понятие вывода в исчислении высказываний (или в исчислении предикатов) - более успешная, как мне кажется, модель. Хотя, конечно, более сложная и, возможно, более "абстрактная".

epros в сообщении #1642850 писал(а):

Да на фига тогда такая функция вообще нужна?

Тот же вопрос можно задать относительно любой другой булевой функции. "На фига нужны" конъюнкция и дизъюнкция, штрих Шеффера или стрелка Пирса? Вопрос о пользе импликации здесь ничем не выделяется, по-моему.

epros в сообщении #1642850 писал(а):

По-моему, Вы сейчас направляете его по пути отказа от понимания

Если есть в рамках алгебры логики (теории булевых функций) какая-то более тонкая модель следования, обрисуйте, пожалуйста. Мне тоже интересно. В данный момент я полагаю, что её просто нет.

[Vladimir Pliassov]

Mihr в сообщении #1642853 писал(а):

Есть всего шестнадцать булевых функций двух аргументов. Две из них ($x\to y$, $y\to x$) в некоторых случаях напоминают логическое следование.

Вот эти функции (прямая и обратная импликации):

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline x&y&x \to y\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}&\;\;\;&\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline x&y&y \to x\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 0 \\ \hline 1& 0& 1 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix}$$

Они представляют собой отображения множества пар $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$ в множество $\{0, 1\}$.

Возьмем высказывания $p=$"$x=1$" и $q=$"$y=1$" и к ним контрвысказывания $\neg p=$"$x=0$" и $\neg q=$"$y=0$".

Составим четыре конъюнкции

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $p\wedge q$.

В функции $x\to y$ исключается третья конъюнкция (пара $(1, 0)$ отображается в $0$), отсюда следует пара сопряженных импликаций $p\to q$ и $\neg q\to \neg p$, то есть из того что $x=1$ следует, что $y=1$, и из того, что $y=0$ следует, что $x=0$.

В функции $y\to x$ исключается вторая конъюнкция (пара $(0, 1)$ отображается в $0$), отсюда также следует пара сопряженных импликаций: $q\to p$ и $\neg p\to \neg q$, то есть из того что $y=1$ следует, что $x=1$, и из того, что $x=0$ следует, что $y=0$.

Таким образом, в самом деле, сами функции $x\to y$ и $y\to x$ не являются следованиями

(несмотря на то, что их обозначения те же, что и у импликаций, что ведет к недоразумениям, то есть эти обозначения, по-моему, неудачны)

но на них существуют следования из значений переменной $x$ в значения переменной $y$ и из значений переменной $y$ в значения переменной $x$.

Кроме этих двух функций, в которых исключается одна конъюнкция значений операндов $x$ и $y$, есть еще две: дизъюнкция и штрих Шеффера, -- на которых существуют, соответственно, пары $(\neg p\to q, \;\; \neg q\to p)$ и $(p\to \neg q, \;\; q\to \neg p)$ сопряженных импликаций.

Эти же четыре пары сопряженных импликаций существуют на функциях эквиваленция и исключающее или, в которых исключается по две конъюнкции значений операндов $x$ и $y$:

на эквиваленции существуют пары $(p\to q, \;\; \neg q\to \neg p)$ и $(q\to p, \;\; \neg p\to \neg q)$,

на исключающем или -- пары $(\neg p\to q, \;\; \neg q\to p)$ и $(p\to \neg q, \;\; q\to \neg p)$.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1642850 писал(а):

И то, что классической логике не удалось свести логическое следование к выводимости, это дефект классической логики.

Я не понимаю, что ей не удалось, мне, по-моему, все удается: я могу вывести из соответствующей дизъюнкции конъюнкций любую пару сопряженных импликаций. Или тут что-то другое?

Можете объяснить, в чем именно этот дефект?

Можете привести пример, когда не удается свести логическое следование к выводимости?