Определение числа команд в футбольном чемпионате

[Luba4ka]

Чемпионат страны по футболу проходит в два круга. После окончания чемпионата оказалось, что числа очков, набранных командами, составляют арифметическую прогрессию и команда, занявшая последнее место, имеет 17 очков. Сколько команд принимало участие в чемпионате?

[Gagarin1968]

Luba4ka
Мне кажется, что исходных данных в задаче не хватает. Дело в том, что по современной системе подсчёта очков в каждом матче может разыгрываться разное количество очков: 3 очка в случае победы одной из команд и 2 очка в случае ничьей. И тогда решение неоднозначно.

[Luba4ka]

Gagarin1968
Данная задача предлагалась в 1982 году. В то время применялась иная система подсчёта очков?

Вот ссылка на условие задачи: http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=u ... 982.8klass

[Gagarin1968]

Luba4ka в сообщении #1642456 писал(а):

Данная задача предлагалась в 1982 году. В то время применялась иная система подсчёта очков?

Естественно другая.
Тогда за победу команда получала 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0. То есть в каждом матче разыгрывалось 2 очка.
Это надо было оговорить.

[мат-ламер]

А на сколько очков больше набрала предпоследняя команда по сравнению с последней? У меня получилось на $4-34/(n-1)$ . Что намекает, что количество команд равно $n=18$ либо $n=35$ (что вряд ли реально).

Последний случай отвергается, ибо тогда получается, что количество команд, набравших нечётное количество очков, нечётно.

[Booker48]

мат-ламер в сообщении #1642459 писал(а):

Последний случай отвергается, ибо тогда получается, что количество команд, набравших нечётное количество очков, нечётно.

Наоборот, в первом случае число команд, набравших нечётное количество очков, равно $9$.
А во втором - $18$.
Отвергнуть надо первый ответ.

[мат-ламер]

Booker48 в сообщении #1642500 писал(а):

Наоборот, в первом случае число команд, набравших нечётное количество очков, равно $9$.

Там все $18$ команд набрали нечётное число очков. Набранные очки идут через $2$ . Легко доказать реализуемость такого варианта. В первом туре все играют между собой вничью. Во втором, команда, набравшая большее количество очков, выигрывает у команды, набравшей меньшее число очков.

мат-ламер в сообщении #1642459 писал(а):

Последний случай отвергается, ибо тогда получается, что количество команд, набравших нечётное количество очков, нечётно.

Тут я был неправ. Здесь $18$ команд, набравших нечётное количество очков. Но наверное надо ещё доказать реализуемость такого варианта.

[Booker48]

мат-ламер в сообщении #1642506 писал(а):

Там все $18$ команд набрали нечётное число очков. Набранные очки идут через $2$ . Легко доказать реализуемость такого варианта. В первом туре все играют между собой вничью. Во втором, команда, набравшая большее количество очков, выигрывает у команды, набравшей меньшее число очков.

Что-то не так. Что вы называете "туром"? Двухкруговой турнир - значит все участники играют друг с другом по $2$ раза. Всего $n(n-1)$ игра. В каждой игре разыгрывается $2$ очка.

[мат-ламер]

Booker48 в сообщении #1642512 писал(а):

Что-то не так. Что вы называете "туром"? Двухкруговой турнир -

Извините. Вместо тура читайте - круг.

[Booker48]

мат-ламер
Да, всё понял, спасибо.

[Shadow]

Вариант с $35$ коммандами тоже реализуем на практике. Там $d=3$. Разобем комманд на 2 группы - с четными номерани и с нечетными номерами (по конечном итоге). И в матчах между двумя коммандами:
Если комманды из одной группы, то "сильный" выигрывает один матч и один заканчивает вничью. (3-1 очка).
Если комманы из разных группах, то "силыны" выигрывает оба матча (4-0) очка.
В группе нечетных - $18$ комманд, в четных - $17$.
Таким образом последняя, $35$-я комманда получит по 1 очко из комманд нечетной группы - $17$ очков.
$34$-я получит $16\cdot 1+1\cdot 4=20$ очков.
$33$-я: $16\cdot 1+1\cdot 3+1\cdot 4=23$
$32$-я: $15\cdot 1+1\cdot 3+2 \cdot 4=26$

и т.д