Алгебра Ли векторных полей с неподвижной точкой

[Padawan]

Допустим в $\mathbb R^n$ в окрестности нуля заданы $n$ векторных полей, которые образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования. Для простоты, рассмотрим в $\mathbb R^3$. В моей задаче можно считать, что эти поля имеют вид

$$ X=\frac{\partial}{\partial x}+X_1,\;\\ Y=\frac{\partial}{\partial y}+Y_1,\;\\ Z=\frac{\partial}{\partial z}+Z_1, $$

где векторные поля $X_1, Y_1, Z_1$ обращаются в нуль в начале координат. Вопрос состоит в том, чтобы найти поля $X_2, Y_2, Z_2$, которые равны нулю в начале координат, и которые образуют алгебру Ли, изоморфную исходной, в идеале -- имеют те же структурные константы. Мне кажется, что их надо искать в виде

$$ X_2=x\frac{\partial}{\partial x}+X_3,\;\\ Y_2=y\frac{\partial}{\partial y}+Y_3,\;\\ Z_2=z\frac{\partial}{\partial z}+Z_3, $$

где поля $X_3, Y_3, Z_3$ имеют нуль второго порядка в начале координат (по аналогии с тривиальным случаем $X=\frac{\partial}{\partial x}, Y=\frac{\partial}{\partial y}, Z=\frac{\partial}{\partial z}$).
По гладкости все можно считать вещественно-аналитическим (на самом деле можно рассматривать вопрос в формальных степенных рядах).
Может кто-то сталкивался с такой же или похожей задачей. По сути я хочу произвольную группу Ли преобразований превратить в изоморфную ей группу преобразований с неподвижной точкой.

-- Пт июн 14, 2024 11:37:38 --

Padawan в сообщении #1642601 писал(а):

Мне кажется, что их надо искать в виде

$$ X_2=x\frac{\partial}{\partial x}+X_3,\;\\ Y_2=y\frac{\partial}{\partial y}+Y_3,\;\\ Z_2=z\frac{\partial}{\partial z}+Z_3, $$

где поля $X_3, Y_3, Z_3$ имеют нуль второго порядка в начале координат

Стоп, вроде бы получается, что такие поля только тривиальную (т.е. абелеву) алгебру могут образовать.