Рассмотрение над полем
![$\mathbb{F}_2$ $\mathbb{F}_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/b/d0b03602a2acb8c4b039c03c890f172982.png)
. Понятно, что нужно найти вектор столбец с четырьмя единичками и остальными нулевыми компонентами, проживающий в ядре соответствующего линейного оператора. Предположение, что такого вектора нет приведёт к противоречию.
Выбираются из ядра четыре линейно независимые вектора. Расположив их в строках, получается матрица
![$B\in \mathbb{F}_2^{4\times 7}$ $B\in \mathbb{F}_2^{4\times 7}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/3/7f3f9a0d3264b6ce03355db9f2b6c11982.png)
. Применяя к этой матрице метод Гаусса по строкам (это не выведет вектор-строки матрицы из ядра), можно получить четыре линейно независимые столбца с единственной единичкой и остальными нулями. Для удобства, переставляя эти столбцы, можно сформировать новую матрицу
![$\tilde{B}\in \mathbb{F}_2^{4\times 7}$ $\tilde{B}\in \mathbb{F}_2^{4\times 7}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/8/d38dc403b652ffa546ef58982820dad282.png)
, у которой левый блок -- единичная матрица
![$4\times 4$ $4\times 4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/a/97a823fefb26ca247b08274aebe565e182.png)
. Далее, следует работать только со строками
![$\tilde{B}$ $\tilde{B}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a4b11477082188db06b7b3af9da366682.png)
, тогда обратной, к сделанной ранее, перестановкой столбцов вернёмся к матрице с вектор-строками из ядра. Правый блок в
![$\tilde{B}$ $\tilde{B}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a4b11477082188db06b7b3af9da366682.png)
-- матрица размерности
![$4\times 3$ $4\times 3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/343430dd4a1328193c24c32efdcf3b1482.png)
. Он не может иметь строк с тремя единичками, иначе получается строка с
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
единичками, а это противоречие. Он также не может иметь более одной строки с двумя единичками на несовпадающих позициях, иначе сумма соответствующих строк в
![$\tilde{B}$ $\tilde{B}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a4b11477082188db06b7b3af9da366682.png)
будет строкой с
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
единичками. Аналогично, не может иметь более одной строки с одной единичкой на несовпадающих позициях. Не может иметь более двух строк с одной единичкой на совпадающих позициях (сумма опять даёт противоречие). В общем, у правого блока матрицы
![${\tilde B}$ ${\tilde B}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47f627cdc24b58ad18dfe0a527ae000b82.png)
совсем мало возможностей и все они приводят к появлению строки с четырьмя единицами. В качестве примера
![${\tilde B}$ ${\tilde B}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47f627cdc24b58ad18dfe0a527ae000b82.png)
:
![$\left(
\begin{array}{ccccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0} \\
0 & 1 & 0 & 0 & {\bf 1} & {\bf 0} & {\bf 0} \\
0 & 0 & 1 & 0 & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0} \\
0 & 0 & 0 & 1 & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0} \\
\end{array}
\right)$ $\left(
\begin{array}{ccccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0} \\
0 & 1 & 0 & 0 & {\bf 1} & {\bf 0} & {\bf 0} \\
0 & 0 & 1 & 0 & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0} \\
0 & 0 & 0 & 1 & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0} \\
\end{array}
\right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/f/61fbf2f3f98d33dbc1d836ce4421866f82.png)
В этом случае сумма трёх последних строк даёт противоречие.