Производная по направлению. Вывод.

[bitcoin]

Можно ли сказать, что этот вывод формулы полноценный? Есть ли к чему придраться?

Определение производной по направлению

Производная функции $ f $ в точке $ \mathbf{a} $ в направлении вектора $ \mathbf{v} $ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этом направлении, при стремлении приращения к нулю.

$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{a})= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{a})}{h} $

где $ h $ — приращение, $ \mathbf{a} $ — точка, в которой вычисляется производная, а $ \mathbf{v} $ — направление.

Вывод формулы.

Предположим, что функция $ f $ дифференцируема в точке $ \mathbf{a} $. Это означает, что её градиент $ \nabla f(\mathbf{a}) $ существует.

$ \nabla f(\mathbf{a}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}), \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{a}), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \right) $

Пусть $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) $ и $ \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) $. Тогда приращение аргумента $ \mathbf{a} $ в направлении $ \mathbf{v} $ будет:

$ \mathbf{a} + h\mathbf{v} = (a_1 + hv_1, a_2 + hv_2, \ldots, a_n + hv_n) $

Теперь можем записать:

$ f(\mathbf{a} + h\mathbf{v}) = f(a_1 + hv_1, a_2 + hv_2, \ldots, a_n + hv_n) $

Разложим функцию $ f $ в ряд Тейлора в окрестности точки $ \mathbf{a} $:

$ f(\mathbf{a} + h\mathbf{v}) = f(\mathbf{a}) + h \left( v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}) + v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{a}) + \ldots + v_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \right) + o(h) $

Теперь подставим это выражение в определение:

$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{a}) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{a})}{h} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a}) + h \left( v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}) + v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{a}) + \ldots + v_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \right) + o(h) - f(\mathbf{a})}{h} $

Сократив $ f(\mathbf{a}) $ и $ -f(\mathbf{a}) $, получаем:

$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{a}) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{h \left( v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}) + v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{a}) + \ldots + v_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \right) + o(h)}{h} $

Разделив числитель и знаменатель на $ h $:

$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{a}) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \left( v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}) + v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{a}) + \ldots + v_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) + \frac{o(h)}{h} \right) $

Так как $ \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = 0 $, остаётся:

$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{a}) = v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}) + v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{a}) + \ldots + v_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a}) $

Это и есть скалярное произведение градиента функции на вектор направления:

$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v} $

Только изначально надо было, наверное, вектор $\mathbf{v}$ считать единичным, не так ли?

[svv]

Вам к этому моменту хорошо известно понятие производной функции одной переменной, а также понятие частной производной функции многих переменных. Поэтому, мне кажется, не следует работать на «атомарном» уровне определения производной. Такие вещи, как предел, «o» малое, должны быть спрятаны. У Вас есть функция $f(\mathbf x)$, где $\mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)$. И есть кривая $\gamma$ (которая на самом деле прямая), заданная параметрически:
$\mathbf x=\gamma(h)=\mathbf a+h\mathbf v$
В правой части Вашего определения стоит производная сложной функции, поэтому применим формулу для неё:
$\left.\frac{df(\gamma(h))}{dh}(0)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf x(0))\;\frac{dx_i}{dh}(0)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf a)\,v_i$

bitcoin в сообщении #1642256 писал(а):

Только изначально надо было, наверное, вектор $\mathbf{v}$ считать единичным, не так ли?

Нет, не обязательно. Понятие производной по направлению естественно формулируется для произвольных векторов (ну, а кого интересует лишь случай $|\mathbf v|=1$, тот может использовать только его). Также не обязательно брать $\gamma(h)=\mathbf a+h\mathbf v$, годится любая гладкая кривая $\gamma(h)$, проходящая через $\mathbf a$, касательный вектор к которой в этой точке равен $\mathbf v$.

Вообще, понятие производной скалярной функции по направлению вектора очень фундаментальное. При небольших модификациях определений оно переносится и на векторные пространства, где не задано скалярное произведение (там выделение случая $|\mathbf v|=1$ уже точно не имеет смысла), и даже на гладкие многообразия, где координаты точки не являются компонентами какого-либо вектора (как у нас $(a_1,\ldots, a_n) = \mathbf a$), а понятие «прямая» может не иметь смысла.

[мат-ламер]

bitcoin в сообщении #1642256 писал(а):

Есть ли к чему придраться?

Если использовать векторные обозначения, то формулы будут выглядеть проще.

bitcoin в сообщении #1642256 писал(а):

Только изначально надо было, наверное, вектор $\mathbf{v}$ считать единичным, не так ли?

Во многих учебниках видел такое. В то же время в книгах, которые мне интересны, именно неединичный.