Чтобы не было путаницы кинетическую энергию обозначим буквой K. Оставим букву T для обозначения периода. Среднюю по времени кинетическую энергию (при t→∞) обозначим K̅. Заметим, что она совпадает со средней за период T. Остальные обозначения: Арнольд. Математические методы классической механики, §4, пункт Г, задача третья с конца.
Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия является однородной функцией k-ой степени. Вириальная теорема (см. Ландау, Лившиц, Механика, §10, формула 10.3) с учетом наших обозначений даёт
![$$\bar{K}=\frac{k}{k+2}E$$ $$\bar{K}=\frac{k}{k+2}E$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/e/73ec3601d3f2282608abffb69374098882.png)
Вычислим площадь, заключенную внутри замкнутой фазовой кривой. Имеем следующую цепочку равенств:
![$$S=\ \oint{ydx=}\int_{0}^{T}{y\dot{x}dt}=\int_{0}^{T}{\dot{x}\dot{x}dt}=2\int_{0}^{T}{\frac{{\dot{x}}^2}{2}dt=2\int_{0}^{T}Kdt=2\int_{0}^{T}{\overline{K}dt=}}2\overline{K}T=\frac{2k}{2+k}ET$$ $$S=\ \oint{ydx=}\int_{0}^{T}{y\dot{x}dt}=\int_{0}^{T}{\dot{x}\dot{x}dt}=2\int_{0}^{T}{\frac{{\dot{x}}^2}{2}dt=2\int_{0}^{T}Kdt=2\int_{0}^{T}{\overline{K}dt=}}2\overline{K}T=\frac{2k}{2+k}ET$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f90128142f15f6f5a84c6cdbddca45882.png)
Тогда
![$$\frac{dS}{dE}=\frac{2k}{2+k}T$$ $$\frac{dS}{dE}=\frac{2k}{2+k}T$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/e/58eb9dd6e3e4ac6fcb1206b26cdede0a82.png)
Формула, указанная в задаче, имеет место в случае гармонического осциллятора, т. е. при k=2.
Возможны иные примеры.
Рассмотрим единичную массу (шарик) между двух стенок на расстоянии единица, движущийся перпендикулярно стенкам. Удар абсолютно упругий. Трения и тяготения нет. В этом случае
![$$dS=2dy;\ \ \ dE=ydy;\ \ \ \frac{dS}{dE}=\frac{2}{y}=T$$ $$dS=2dy;\ \ \ dE=ydy;\ \ \ \frac{dS}{dE}=\frac{2}{y}=T$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/d/a8d15439cc79f177591013784050636782.png)
Рассмотрим единичную массу (шарик), падающий с высоты h с ускорением g на плиту и отражающийся вверх после абсолютно упругого удара.
![$$dS=gTdh;\ \ \ dE=gdh;\ \ \ \frac{dS}{dE}=T$$ $$dS=gTdh;\ \ \ dE=gdh;\ \ \ \frac{dS}{dE}=T$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/3/3830b82992176f9314c805c459d672e482.png)