Числа между соседними квадратами

[Edward_Tur]

Сколько чисел вида $2^m\cdot3^n$ может быть между соседними квадратами натуральных чисел?

[Null]

Будем считать числа строго между квадратами $m^2$ и $(m+1)^2$.
Легко получить оценку 3:
Чисел вида $2^{2k}\cdot 3^{2l}$ там быть не может - они квадраты.
Каждого из чисел вида $2^{2k+1}\cdot 3^{2l}$,$2^{2k}\cdot 3^{2l+1}$ и $2^{2k+1}\cdot 3^{2l+1}$ не более одного. Если их 2, то они имеют вид $a^2t$ и $b^2t$($a>b$) и их отношение $\frac{a^2}{b^2}=\left( 1+\frac{a-b}{b}\right)^2>\left(\frac{m+1}{m}\right)^2$
Итого не более 3.

[gris]

а показатели могут равняться нулю? Тогда в самом начале видны тройки, да и то, если квадраты включать слева. А подальше (за 27^2) и двойки не получить:( Вроде бы.
$1\leqslant[1,2,3]< 4$
$4\leqslant[4,6,8]< 9$
$9\leqslant[9,12]\< 16$
$16\leqslant[16,18,24]< 25$

[Null]

gris в сообщении #1641881 писал(а):

Тогда в самом начале видны тройки

Моя оценка не включает оба конца.

[Andrey A]

Edward_Tur в сообщении #1641871 писал(а):

Сколько...?

Если брать строго "между" и параметры $m,n$ считать целыми, полагаю не больше $2$-х. Но если вместо знака "$=$" взять "$\approx$", получается интересно.
Задача сводится к описанию квадратных корней из чисел указанного вида с равной (или примерно равной) целой частью. Запишем уравнение

$$2^m\cdot3^n \approx 2^x\cdot3^y$$

Прологарифмируем обе части: $m\ln2+n\ln3 \approx x\ln2+y\ln3$ или $(m-x)\ln2 \approx (y-n)\ln3$ или

$$\dfrac{m-x}{y-n} \approx \log_2{3}$$

В правой части фиксированное число, которому можем дать рациональные приближения:

$$\log_2{3} = 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,... \approx \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{1},\dfrac{8}{5},\dfrac{19}{12},\dfrac{46}{29},\dfrac{157}{99},...,\dfrac{p_i}{q_i},...$$

В натуральных числах $x<m,y>n$ и $\left\{ \begin{array}{cl} x & = \ m-p_i \\ y & = \ n+q_i \end{array} \right.$
Возьмем для примера $N=2^{53}\cdot3^{45}$ и наиболее точную дробь $\dfrac{46}{29}.$ $x=53-46=7,y=45+29=74.$ Ну, или $x=53+46=99,y=45-29=16.$
$\left\lfloor \sqrt{2^{53}\cdot3^{45}} \right\rfloor=5158496215828457472$
$\left\lfloor \sqrt{2^{7}\cdot3^{74}} \right\rfloor=5094380853035030528$
$\left\lfloor \sqrt{2^{99}\cdot3^{16}} \right\rfloor=5223418502930199552$
Отличие, как видим, уже во втором знаке. Так что искать приходится в малых числах, и, видимо, число примеров конечно.

[vicvolf]

Null в сообщении #1641882 писал(а):

Моя оценка не включает оба конца.

Правильно, так и есть в задании.

Edward_Tur в сообщении #1641871 писал(а):

Сколько чисел вида $2^m\cdot3^n$ может быть между соседними квадратами натуральных чисел?

Andrey A в сообщении #1641883 писал(а):

Если брать строго "между" и параметры $m,n$ считать целыми, полагаю не больше $2$-х.

gris в сообщении #1641881 писал(а):

$1\leqslant[1,2,3]< 4$
$4\leqslant[4,6,8]< 9$
$9\leqslant[9,12]< 16$
$16\leqslant[16,18,24]< 25$

Край слева тоже включать не надо и будет не меньше 2.

[gris]

Если рассматривать задачу в целом, то кажется, что на достаточном расстоянии произведение экспонент забьёт любую натуральную степень. При заданным $n,p$ между (в любом значении) двумя последовательными степенями $k^n,( k+1)^n$ можно обнаружить не более одного числа c простыми делителями ${2,..., p}$ . И получить флуктуации можно лишь в самом начале.
А отрицательные степени попробуйте .

[Andrey A]

gris в сообщении #1641888 писал(а):

между ... двумя последовательными степенями $k^n,( k+1)^n$ можно обнаружить не более одного числа...

Для фиксированных $m,n$ нужная степень как раз найдется (если правильно Вас понял). Для примера выше
\sqrt[15]{2^{53}\cdot3^{45}}=312,610...$
\sqrt[15]{2^{7}\cdot3^{74}}=312,089...$
и соответственно
$312^{15}<2^{53}\cdot3^{45}<312^{16}$
$312^{15}<2^{7}\cdot3^{74}<312^{16},$
и даже
$93^{19}<2^{53}\cdot3^{45}<93^{20}$
$93^{19}<2^{7}\cdot3^{74}<93^{20}$
$93^{19}<2^{99}\cdot3^{16}<93^{20}.$

[Andrey A]

P.S. В примерах выше на единицу меняется не степень, а основание степени, конечно. В правой части.
Очень неудобно без редактирования.