Сколько...?
Если брать строго "между" и параметры
![$m,n$ $m,n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/4/924c2a38ef139efbe6801016f51628cd82.png)
считать целыми, полагаю не больше
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-х. Но если вместо знака "
![$=$ $=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/1/591ff9c1652b7e605ef0190a9713c14082.png)
" взять "
![$\approx$ $\approx$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/a/dea967ee1fdda243614fdbe82884bbe882.png)
", получается интересно.
Задача сводится к описанию квадратных корней из чисел указанного вида с равной (или примерно равной) целой частью. Запишем уравнение
![$$2^m\cdot3^n \approx 2^x\cdot3^y$$ $$2^m\cdot3^n \approx 2^x\cdot3^y$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/d/8ad081787a642c6c7130722ca56fcfc882.png)
Прологарифмируем обе части:
![$m\ln2+n\ln3 \approx x\ln2+y\ln3$ $m\ln2+n\ln3 \approx x\ln2+y\ln3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/0/bd088c3830f8b0e745de7f9e2f29334382.png)
или
![$(m-x)\ln2 \approx (y-n)\ln3$ $(m-x)\ln2 \approx (y-n)\ln3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/9/689e44822ae412b57fc1f9f146b4ca3182.png)
или
![$$\dfrac{m-x}{y-n} \approx \log_2{3}$$ $$\dfrac{m-x}{y-n} \approx \log_2{3}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/d/bedeedc4327eb4bccf4998c12b57549f82.png)
В правой части фиксированное число, которому можем дать рациональные приближения:
![$$\log_2{3} = 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,... \approx \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{1},\dfrac{8}{5},\dfrac{19}{12},\dfrac{46}{29},\dfrac{157}{99},...,\dfrac{p_i}{q_i},...$$ $$\log_2{3} = 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,... \approx \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{1},\dfrac{8}{5},\dfrac{19}{12},\dfrac{46}{29},\dfrac{157}{99},...,\dfrac{p_i}{q_i},...$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/b/52b3b18e16883d7c43910fb26e8004dc82.png)
В натуральных числах
![$x<m,y>n$ $x<m,y>n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9fa26c63af062af0644801fd20c1a582.png)
и
![$\left\{ \begin{array}{cl}
x & = \ m-p_i \\
y & = \ n+q_i
\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{cl}
x & = \ m-p_i \\
y & = \ n+q_i
\end{array} \right.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4d345c9bdcdfade89d86f3c988faed982.png)
Возьмем для примера
![$N=2^{53}\cdot3^{45}$ $N=2^{53}\cdot3^{45}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/5/4b57d63d06f2b207ffdaa443ad55abb582.png)
и наиболее точную дробь
![$x=53-46=7,y=45+29=74.$ $x=53-46=7,y=45+29=74.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/b/bdbb6c9754e3b9a1c8433943388281a482.png)
Ну, или
![$x=53+46=99,y=45-29=16.$ $x=53+46=99,y=45-29=16.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/3/083ffa763bf656c9d82b950a68876c2182.png)
![$\left\lfloor \sqrt{2^{53}\cdot3^{45}} \right\rfloor=5158496215828457472$ $\left\lfloor \sqrt{2^{53}\cdot3^{45}} \right\rfloor=5158496215828457472$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/2/46205971e9b505a8b7f397b1e3bffbd182.png)
![$\left\lfloor \sqrt{2^{7}\cdot3^{74}} \right\rfloor=5094380853035030528$ $\left\lfloor \sqrt{2^{7}\cdot3^{74}} \right\rfloor=5094380853035030528$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d556a80c971b047191cc26f970245c3c82.png)
![$\left\lfloor \sqrt{2^{99}\cdot3^{16}} \right\rfloor=5223418502930199552$ $\left\lfloor \sqrt{2^{99}\cdot3^{16}} \right\rfloor=5223418502930199552$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/8/018d9a3c51d14cd9eee39bac4102c64082.png)
Отличие, как видим, уже во втором знаке. Так что искать приходится в малых числах, и, видимо, число примеров конечно.