Динамика сферического движения

[Bod]

Известно что динамика сферического движения тела определяется системой уравнений Эйлера:
\begin{array}{c} J_{x}\dfrac{d\omega_{x}}{dt}-\omega_{y}\omega_{z}\left(J_{z}-J_{y}\right)=M_{x}\\ J_{y}\dfrac{d\omega_{y}}{dt}-\omega_{x}\omega_{z}\left(J_{x}-J_{z}\right)=M_{у}\\ J_{z}\dfrac{d\omega_{z}}{dt}-\omega_{y}\omega_{x}\left(J_{y}-J_{x}\right)=M_{z}\end{array}

Решение находится относительно подвижной системы координат с которой очень проблематично работать.
Вопрос заключается в следующем: Моменты силы M_{x}\left(\psi,\theta,\varphi\right),M_{y}\left(\psi,\theta,\varphi\right),M_{z}\left(\psi,\theta,\varphi\right) в моем случае зависят от углов Эйлера. Имею ли я право в соответствии с преобразованием Эйлера:
\begin{array}{c} \omega_{x}=\dot{\theta}\sin\left(\varphi\right)-\dot{\psi}\sin\left(\theta\right)\cos\left(\varphi\right)\\ \omega_{y}=\dot{\theta}\cos\left(\varphi\right)+\dot{\psi}\sin\left(\theta\right)\sin\left(\varphi\right)\\ \omega_{z}=\dot{\psi}\cos\left(\theta\right)+\dot{\varphi}\end{array}
заменить в дифференциальном уравнении все \omega? Смущает тот факт что данное преобразование в общем то (как мне кажется) вырождено.
Если не имею права, то как вы посоветуете поступить чтобы разрешить данную систему?

[Андрей123]

Bod писал(а):

Известно что динамика сферического движения тела определяется системой уравнений Эйлера:
\begin{array}{c} J_{x}\dfrac{d\omega_{x}}{dt}-\omega_{y}\omega_{z}\left(J_{z}-J_{y}\right)=M_{x}\\ J_{y}\dfrac{d\omega_{y}}{dt}-\omega_{x}\omega_{z}\left(J_{x}-J_{z}\right)=M_{у}\\ J_{z}\dfrac{d\omega_{z}}{dt}-\omega_{y}\omega_{x}\left(J_{y}-J_{x}\right)=M_{z}\end{array}

Решение находится относительно подвижной системы координат с которой очень проблематично работать.
Вопрос заключается в следующем: Моменты силы M_{x}\left(\psi,\theta,\varphi\right),M_{y}\left(\psi,\theta,\varphi\right),M_{z}\left(\psi,\theta,\varphi\right) в моем случае зависят от углов Эйлера. Имею ли я право в соответствии с преобразованием Эйлера:
\begin{array}{c} \omega_{x}=\dot{\theta}\sin\left(\varphi\right)-\dot{\psi}\sin\left(\theta\right)\cos\left(\varphi\right)\\ \omega_{y}=\dot{\theta}\cos\left(\varphi\right)+\dot{\psi}\sin\left(\theta\right)\sin\left(\varphi\right)\\ \omega_{z}=\dot{\psi}\cos\left(\theta\right)+\dot{\varphi}\end{array}
заменить в дифференциальном уравнении все \omega? Смущает тот факт что данное преобразование в общем то (как мне кажется) вырождено.
Если не имею права, то как вы посоветуете поступить чтобы разрешить данную систему?

Кинематические уравнения Эйлера вырождаются только при $\sin\theta=0$. При этом получающаяся система может не иметь единственного решения.

[Bod]

Андрей123 писал(а):

Кинематические уравнения Эйлера вырождаются только при $\sin\theta=0$. При этом получающаяся система может не иметь единственного решения.

Это то и смущает... А при прохождении через 0 (а не тождественном равенстве) единственность не нарушается?

[Андрей123]

А что у Вас за задача?

[Bod]

Задача состоит в моделировании динамики твердого тела (болванки) с шестью степенями свободы. Два конца болванки закреплены (но не идеально, к примеру, упругое крепление), крепления при моделировании заменяются их реакциями связей (т.е. это те самые силы что формируют моменты). Они естественно зависят от положение центра масс и углов Эйлера.

[Bod]

В знаменателях дифференциальных уравнений описывающих динамику действительно вылез \sin\left(\theta\right).
То есть применять углы Эйлера в случае когда возможно \sin\left(\theta\right)=0 нельзя.
Тогда встает следующий вопрос - каким методом можно воспользоваться чтобы избежать данной проблемы? Существуют ли помимо углов Эйлера другие способы задать положение тела в пространстве?

[V.V.]

Bod писал(а):

Существуют ли помимо углов Эйлера другие способы задать положение тела в пространстве?

Кватернионы для этого и были придуманы.

[GAA]

Помимо углов Эйлера используются углы Крылова.

Добавлено спустя 12 минут 37 секунд:

На всякий случай. Ссылку на доступный в сети материал, посвященный кватернионам, давал Someone.

[Bod]

Хотел бы уточнить на счет углов Крылова. Насколько я понял в случае углов Крылова поворот осуществляется вокруг подвижных осей. т.е. угловые частоты подвижных осей \omega_x,\omega_y,\omega_z (из уравнений Эйлера) всегда совпадают по направлению с производными от соответствующих углов Крылова. Иначе говоря можно интегрировать систему уравнений Эйлера непосредственно без использования всякого рода кинематических преобразований (типа преобразования Эйлера).
Тогда:
\begin{array}{c} \psi=\int\omega_{x}dt\\ \varphi=\int\omega_{y}dt\\ \theta=\int\omega_{z}dt\end{array}
Где углы \psi,\varphi,\theta однозначно характеризуют поворот относительно неподвижной системы координат.

Я прав в своих рассуждениях или где-то допускаю ошибку?

Вот только смущает получающаяся простота. И тогда зачем вообще заморачиваться используя преобразование Эйлера которое на порядок усложняет диф. ур.

Добавлено спустя 2 часа 47 минут 35 секунд:

Я кажется понял в чем ошибка - в отличии от поворотов в углах Эйлера повороты в углах Крылова некоммутативны т.е. результирующее положение зависит от порядка в котором осуществлять эти повороты. В таком случае не представляю как их вообще можно использовать при решении подобных задач.

[GAA]

Малым отклонениям подвижной системы координат от неподвижной не соответствуют малые значения углов Эйлера, но соответствуют малые значения углов Крылова [поэтому углами Крылова пользуются в теории устойчивости решений ОДУ и при исследовании малых колебаний]. Вместе с тем, Голубев Ю.Ф. в «Основы теоретической механики», 1992 пишет:
«введение навигационных углов переносит особенность в те положения твердого тела, для которых $e_3^k = e_2$ [$e^k$ — базис связанный с твердым телом, GAA]. Вообще появление особенности при использовании минимального набора угловых координат неизбежно...»

[Bod]

Благодарю.
Использование кватернионов вроде решило все проблемы, да и уравнения получились куда приятней и наглядней.