Закон распределения случайной величины -X

[StudentV]

Здравствуйте.

Задача. Дана непрерывная случайная величина $X$ с интегральным законом распределения $F(x)$ и дифференциальным законом распределения $f(x)$. Случайная величина $-X$ равна случайной величине $X$, умноженной на $-1$. Найти интегральный закон распределения $F_-(x)$ и дифференциальный закон распределения $f_-(x)$ величины $-X$.

Решение. Найдем сначала интегральный закон распределения $F_-(x)$ величины $-X$. $F_-(x) = P(-X < x) = P(X > -x) = 1 - P(X < -x) = 1 - F(-x)$. Тогда $f_-(x) = \dfrac{d}{dx}(1 - F(-x)) = \dfrac{d}{dx}F(x) = f(x)$ и $F_-(x) = F(x)$.

Этот вывод кажется мне абсурдным. Возьмем $0 < a < b$. Очевидно, $P(a<X<b) = \int\limits^a_b f(x)dx$ и $P(a<-X<b) = \int\limits^a_b f_-(x)dx$. Но если первая вероятность отлична от нуля, то вторая равна нулю: $X$ и $-X$ не могут одновременно принять положительное значение. Значит, подынтегральные функции никак не могут совпадать.

Похоже, где-то глупая ошибка вроде потери знака. Но я ее не вижу.

[ozheredov]

StudentV в сообщении #1641830 писал(а):

где-то глупая ошибка вроде потери знака

От тут:

StudentV в сообщении #1641830 писал(а):

$\dfrac{d}{dx}(1 - F(-x)) = \dfrac{d}{dx}F(x)$

Подставьте вместо $F(x)$ что-нибудь сильно несимметричное и не-анти-симметричное типа $relu$, сразу всё станет видно.

[iifat]

StudentV в сообщении #1641830 писал(а):

$\dfrac{d}{dx}(1 - F(-x)) = \dfrac{d}{dx}F(x)$

$\dfrac{d}{dx}(1 - F(-x)) = \dfrac{d}{dx}F(-x)$

[StudentV]

Спасибо, iifat и ozheredov. Действительно, потерял знак при дифференцировании.

StudentV в сообщении #1641830 писал(а):

Но если первая вероятность отлична от нуля, то вторая равна нулю: $X$ и $-X$ не могут одновременно принять положительное значение.

Это тоже ошибочный аргумент. Величина $X$ и величина $-X$ могут попадать в интервал $(a, b)$ с одной и той же вероятностью, если $f(x)$ четная. С одной и той же вероятностью - не значит одновременно, т.е. в результате одного и того же опыта.