Производная функции

[Antoshka]

Здравствуйте. Дана функция аргумента $\theta$, где $\theta\in(0;0.05)$Вот она $f(\theta)=\theta(h^6+h^5-2)-64/7\cdot(h^5-1)+\theta^2\cdot((h-\delta(64/7-\theta))h^5+\theta^5\cdot\sigma)\delta-\frac{\theta^6(h^6-1)}{2\cdot 18^4};$
Здесь $h,\delta,\sigma$ это тоже функции аргумента $\theta$, и задаются они так
$\left\{ \begin{array}{lcl} K=4(32/7-\theta)-\frac{\theta^7}{(128/7)^5-3\cdot 4^{15}\cdot\theta/7^4}\\ \delta=\frac{2}{K+2\theta}+\frac{\theta^6}{K(K+2\theta)^5\cdot(1+\theta^2/55)}\\ \sigma=(64/7-2\theta+\frac{\theta^6}{2\cdot 18^4})\delta^6-\frac{h^6}{2\cdot 18^4}\\ h=\theta((1-7\theta/64)\delta-7/64)+1\\ \end{array} \right.$
Требуется доказать монотонность функции на указанном промежутке, по крайней мере я пробовал начертить график функции в wolfram mathematica и на графике получилась возрастающая функция! Понятно, что это надо через первую производную, но проблема в том, что тут сложная функция получается! Значит надо дифференцировать $f(\theta)$, как сложную функцию, и какого-то иного способа нет? Или может есть?

[Null]

Способ может и есть, но копаться в этой куче дробей вряд ли кто-то будет. Если вам для себя или практического применения- ссылки на график достаточно. Если вам нужно доказательство, то его можно получить с помощью компьютерной алгебры. Если брать коэффициенты как длинные рациональные числа, то компьютер способен проверить отсутствие корней на интервале точно.

[Alex Krylov]

Можно и теоремы о представлении положительных полиномов использовать (теоремы Маркова-Лукаша или Пойа).

[svv]

Antoshka
Я в MATLAB использовал символьные вычисления, и у меня получилось, что
$f(0)=0$
$f(0.0025)\approx -1.5110\cdot 10^{-22}<0$
$f(0.0050)\approx 7.0088\cdot 10^{-22}>0$,
то есть функция не является монотонной. Вы можете сами это проверить? Я не очень хорошо владею символьными вычислениями в MATLAB.

На всякий случай приведу программу, может, Вы найдёте ошибку.

Используется синтаксис Matlab M

syms t K d h s f 
t = 0.0025;
K = 4*(32/7-t) - t^7/((128/7)^5-3*4^15*t/7^4);
d = 2/(K+2*t) + t^6/K/(K+2*t)^5/(1+t^2/55);
h = t*((1-7*t/64)*d-7/64) + 1;
s = (64/7-2*t+t^6/2/18^4)*d^6 - h^6/2/18^4;
f = t*(h^6+h^5-2) - 64/7*(h^5-1) + t^2*((h-d*(64/7-t))*h^5+t^5*s)*d - t^6*(h^6-1)/2/18^4;
f

[Markiyan Hirnyk]

Функция убывает на указанном отрезке. Вот результат с Математикой 14, показывающий неположительность производной:

K = 4*(32/7-t) - t^7/((128/7)^5-3*4^15*t/7^4);
d = 2/(K+2*t) + t^6/K/(K+2*t)^5/(1+t^2/55);
h = t*((1-7*t/64)*d-7/64) + 1;
s = (64/7-2*t+t^6/2/18^4)*d^6 - h^6/2/18^4;
f = t*(h^6+h^5-2) - 64/7*(h^5-1) + t^2*((h-d*(64/7-t))*h^5+t^5*s)*d - t^6*(h^6-1)/2/18^4;Maximize[{D[f, t], t >= 0 && t <= 1/20}, t] 

{0, {t -> 0}}

Подтверждается другой командой Математики (см. справку):

FindInstance[D[f, t] > 0 && t >= 0 && t <= 1/20, t, Reals]

{}

[svv]

Markiyan Hirnyk, благодарю за подтверждение.

[GAA]

svv в сообщении #1641552 писал(а):

$f(0.0050)\approx 7.0088\cdot 10^{-22}>0$,

Matlab R2013b

Используется синтаксис Matlab M

syms K d h s f
t = sym(1/200);
K = 4*(32/7-t) - t^7/((128/7)^5-3*4^15*t/7^4);
d = 2/(K+2*t) + t^6/K/(K+2*t)^5/(1+t^2/55);
h = t*((1-7*t/64)*d-7/64) + 1;
s = (64/7-2*t+t^6/2/18^4)*d^6 - h^6/2/18^4;
f = t*(h^6+h^5-2) - 64/7*(h^5-1) + t^2*((h-d*(64/7-t))*h^5+t^5*s)*d - t^6*(h^6-1)/2/18^4;
double(f)

Возвращает -2.4023e-24.
Просто у Вас t = 0.0025; создаёт переменную double. Далее выражения K, d, h, s, f строятся с double и они все имеют тип double.

[svv]

GAA, спасибо. Значит, syms не помогло. А можно ещё Вас попросить? Пожалуйста, вычислите $f(0.05)$.

[GAA]

Matlab 2013: -1.6462e-17.
Maple 7

> f := proc(t)
>  local K, d, h, s;
>  K := 4*(32/7-t) - t^7/((128/7)^5-3*4^15*t/7^4);
>  d := 2/(K+2*t) + t^6/K/(K+2*t)^5/(1+t^2/55);
>  h := t*((1-7*t/64)*d-7/64) + 1;
>  s := (64/7-2*t+t^6/2/18^4)*d^6 - h^6/2/18^4;
>  t*(h^6+h^5-2) - 64/7*(h^5-1) + t^2*((h-d*(64/7-t))*h^5+t^5*s)*d - t^6*(h^6-1)/2/18^4;
> end proc:
> evalf[20](f(1/20));
                       -.16461634057324022425e-16

[svv]

Спасибо! Просто невероятно, до какой степени неточно считает, если не предпринять специальных мер. А график гладкий.

[GAA]

svv в сообщении #1641609 писал(а):

Значит, syms не помогло.

Конечно. Следующий код без syms приводит к результату

Используется синтаксис Matlab M

t = sym(1/20);
K = 4*(32/7-t) - t^7/((128/7)^5-3*4^15*t/7^4);
d = 2/(K+2*t) + t^6/K/(K+2*t)^5/(1+t^2/55);
h = t*((1-7*t/64)*d-7/64) + 1;
s = (64/7-2*t+t^6/2/18^4)*d^6 - h^6/2/18^4;
f = t*(h^6+h^5-2) - 64/7*(h^5-1) + t^2*((h-d*(64/7-t))*h^5+t^5*s)*d - t^6*(h^6-1)/2/18^4;
double(f)

-- Thu 06.06.2024 03:09:16 --

Если справа от присвоения символьное выражение, то и "переменная" символьного типа.

[svv]

svv в сообщении #1641552 писал(а):

Я не очень хорошо владею символьными вычислениями в MATLAB.

И это мягко сказано.

[GAA]

Просто в окне Workspace после выполнения Вашего скрипта можно было посмотреть на переменные t, ...f и увидеть их "тип".

[Antoshka]

Спасибо всем за помощь! Разобрался. Оказывается действительно в wolfram mathematica можно проверять знаки производной командами maximize, minimize, что существенно экономит время

[Antoshka]

Добрый день. А не подскажете, вот если я нашел max значение вышеупомянутой мною функции с помощью команды maximize в wolfram mathematica, то можно как-то посмотреть сам алгоритм нахождения этого max значения?