Стохастическое дифференциальное уравнение с корнем

[marie-la]

Задача формулируется так.
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

$$dX_t=dt+2\sqrt{X_t}dB_t$$

Докажите, что для

$$x_0>0$$

$$X_t=(B_t+\sqrt{x_0})^2$$

- решение.

Применила я формулу Ито, получила

$$(B_t+\sqrt{x_0})^2-x_0=t+\int_0^t (B_s+\sqrt{x_0})dB_s$$

И почему же вместо скобок можно модуль поставить? Мне кажется, что это просто неправильно. Или все-таки я недопонимаю чего-то?

[Alex Krylov]

См. вот тут: https://metaphor.ethz.ch/x/2018/fs/401-3642-00L/ex/solution12.pdf упражнение 12.6 с решением

[marie-la]

Alex Krylov
Не могу разобраться, как к моему случаю применять :( Там многомерный случай, и еще с 0 стартует.

[Alex Krylov]

Имеем:
$dY = dB$
$f(Y) = (Y+\sqrt{x_0})^2$
Теперь надо применить формулу Ито. Применяем:
$dX=df(Y)=(0+0+\frac{1}{2} 2 )dt + 2 (B+\sqrt{x_0})dB = dt + 2 (B+\sqrt{x_0})dB $

Вот это вот $\sqrt{X_t}$ - величина положительная (как и процесс $X_t$). Т.е. мы не можем сказать, что вот это $(B+\sqrt{x_0})dB$ есть вот это $\sqrt{X}dB$
Теперь надо разобраться с тем, что вот это такое: $(B+\sqrt{x_0})dB$

Для этого рассмотрим вот такой процесс Ито: $dW = \frac{B+\sqrt{x_0}}{\left\lvert B+\sqrt{x_0} \right\rvert} dB$
Квадратичная вариация этого процесса равна: $\left\langle W_t, W_t\right\rangle = \int\limits_{0}^{t} \frac{(B_s+\sqrt{x_0})^2}{\left\lvert B+\sqrt{x_0} \right\rvert^2} ds=\int\limits_{0}^{t} ds = t$
Такой квадратичной вариацией (равной $t$) обладает только винеровский процесс, а значит заключаем, что W - винеровский процесс! А значит можем заменить $(B+\sqrt{x_0})dB$ на $\left\lvert B+\sqrt{x_0}\right\rvert dW$ (т.к. $\left\lvert B+\sqrt{x_0}\right\rvert dW = (B+\sqrt{x_0})dB$). Ну а вот это $\left\lvert B+\sqrt{x_0}\right\rvert = \sqrt{X}$.
Т.е. имеем $dX = dt + 2 \sqrt{X} dW$ (перешли к уравнению относительно другого винеровского процесса).

[marie-la]

Alex Krylov
Спасибо!