Доказать, что последовательность расходится

[Gecko]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, доказать, что последовательность при $\left\lvert q \right\rvert > 1$ является расходящейся:
$a_{n} = \dfrac{1-q^n}{1-q}$

[Null]

Вы умеете доказывать что $\lim_{n\to \infty}a^n=+\infty$ при $a>1$?

[Gecko]

Нужно доказать без привлечения знаний о пределах в несобственном смысле.

[dgwuqtj]

Можно просто аккуратно оценить снизу по модулю чем-то типа $c^{n - 1}$. Это совсем легко при $q > 1$.

[Евгений Машеров]

$a_{n} = \dfrac{1-q^n}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^{n-1}$
Каждое увеличение n прибавляет одно слагаемое, равное $q^{n-1}>1$

-- 05 июн 2024, 12:06 --

Gecko в сообщении #1641489 писал(а):

Нужно доказать без привлечения знаний о пределах в несобственном смысле.

А сумма геометрической прогрессии предполагается известной? В моё время её в 9 классе узнавали, задолго до "пределов". А здесь формула этой суммы.

[Gecko]

Евгений Машеров в сообщении #1641495 писал(а):

А сумма геометрической прогрессии предполагается известной? В моё время её в 9 классе узнавали, задолго до "пределов". А здесь формула этой суммы.

Предполагается) Только $q^{n-1} < -1$ при четных $n$ и $q < -1$.

[dgwuqtj]

Можно ещё оценить через $q^{n - 2} (q - 1)$, если уж использовать формулу для прогрессии.

[Евгений Машеров]

Ну да, случай отрицательного надо рассмотреть, имея в виду, что тут "расходится" не монотонно бесконечно возрастает, а швыряет из стороны в сторону с нарастающей амплитудой...

[gefest_md]

Gecko в сообщении #1641486 писал(а):

Помогите, пожалуйста, доказать, что последовательность при $\left\lvert q \right\rvert > 1$ является расходящейся:
$a_{n} = \dfrac{1-q^n}{1-q}$

В определении сходимости фигурирует сам предел $l\in\mathbb{R},$ поэтому доказать по определению не вижу как.

[Gecko]

Возможно, стоит воспользоваться фактом, что сходящаяся последовательность всегда ограниченна. И доказать, что наша последовательность не является таковой.

[gefest_md]

Gecko в сообщении #1641535 писал(а):

Возможно, стоит воспользоваться фактом, что сходящаяся последовательность всегда ограниченна. И доказать, что наша последовательность не является таковой.

Я доказал так для случая $q>1.$ Но для случая $q<-1$ уже запутался. Потом перешёл к критерию Коши, где не фигурирует предел, чтобы не пришлось доказывать $\forall l\in\mathbb{R}\exists \varepsilon>0\forall N\exists n > N\left(\left|\frac{1-q^n}{1-q}-l\right|\geqslant \varepsilon\right).$

[thething]

Gecko в сообщении #1641535 писал(а):

Возможно, стоит воспользоваться фактом, что сходящаяся последовательность всегда ограниченна. И доказать, что наша последовательность не является таковой.

$$|1-q^n|\ge|1-|q|^n|=|q|^n-1=(1+\alpha)^n-1\ge n\alpha.$$

Сойдёт?