Замысловатая числовая последовательность

[Laguna]

Доброго времени суток, знатоки математического анализа! Столкнулся со следующей задачкой:
"Докажите, что для произвольного $a_0 \in (0, 2\pi)$ последовательность, заданная условием $a_{n+1} = \int\limits_{0}^{a_n}(1 + \frac{1}{4}\cos^{2n+1}(t))dt$ имеет предел и найдите его"
Я раскладывал интеграл на 2 части и потом отдельно интегрировал $\cos^{2n+1}(t)$. В итоге получил, что
$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k \binom{k}{n} \sin^{2n-2k+1}(a_n)}{2n-2k+1}$.
Неплохо, конечно, но вот че дальше с этим делать - не знаю. Прошу помощи

[mathematician123]

Сходимость нетрудно показать и без громоздких формул. $\int_0^{a_n}\cos^{2n + 1}(t)dt \to 0$ при $n \to \infty$. Поэтому либо $a_{n} $ монотонна начиная с некоторого момента и имеет предел, либо будет то возрастать, то убывать, приближаясь к точке вида $\pi k$, для некоторого целого $k$. Думаю, что имеет место именно второй случай.

[thething]

Было.

[Laguna]

thething в сообщении #1640914 писал(а):

Было.

О, благодарю)