Интеграл под пределом

[GAA]

Laguna в сообщении #1640465 писал(а):

Только что придумал доказательство того, что

$$\lim\limits_{t \to \infty}\frac{\int\limits_{1}^{t}\frac{\cos(y)}{y}dy}{t}$$

равен нулю. Не могли бы Вы проверить, корректно ли оно? Так вот:

Вам нужно доказать, что

$$\lim\limits_{t \to \infty}\frac{\int\limits_{1}^{t}\frac{\cos(y)}{y}dy}{\ln t}$$

равен нулю.

[GAA]

GAA в сообщении #1640448 писал(а):

$\int\limits_{0}^{t}\frac {1-\cos y} ydy = \frac {-\operatorname {Ci} t +\ln t + \gamma} t$

Тут неточность, конечно. Должно быть: $\frac 1 t\int\limits_{0}^{t}\frac {1-\cos y} ydy = \frac {-\operatorname {Ci} t +\ln t + \gamma} t$.

GAA в сообщении #1640464 писал(а):

Вариант thething позволяет выразить интеграл в числителе исходного выражения через $\operatorname {Ci}$ точно, но в этом упражнении это избыточно.

Чтобы два раза не вставать.
Беря $dv = \sin y dy = (1-\cos y)'dy$, $v = 1-\cos y$, $u = \ln y$ и интегрируя по частям, получим
$\int\limits_0^t \sin y \ln \frac y t dy = (1-\cos y) \ln\frac y t|_0^t + \int\limits_0^t \frac {\cos y -1} y dy = $
$=\left(\gamma + \ln t +\int\limits_0^t \frac {\cos y -1} y dy \right) - \gamma - \ln t = \operatorname {Ci} t -\gamma - \ln t$.