Интеграл под пределом

[Laguna]

Здравствуйте, господа! Недавно столкнулся со следующей задачей:
"Найдите

$$\lim\limits_{t}^{\infty} \frac{\int\limits_{0}^{1}\sin (tx) \ln(x)dx}{-\frac{\ln(t)}{t}}$$

".
Очевидно, что выражение в знаменателе стремится к нулю, а вот что делать с числителем понять не могу. Пробовал ввести замену $y = tx$, однако ничего содержательного у меня не получилось. Прошу помощи

[adfg]

Laguna писал(а):

Пробовал ввести замену $y = tx$, однако ничего содержательного у меня не получилось. Прошу помощи

Пробуйте еще раз. Такое, по-моему, должно в конце концов решиться разбиванием промежутка по периодам синуса. Но для начала выражение надо причесать, поэтому начать здесь с замены выглядит вполне удачной идеей.

[thething]

Laguna в сообщении #1640374 писал(а):

Пробовал ввести замену $y = tx$

После этой замены и интегрирования по частям Вам надо прийти к дроби $\dfrac{\displaystyle\int\limits_0^t\frac{1-\cos x}{x}dx}{\ln t}$. Нижний предел интегрирования можно заменить на единицу.

[GAA]

Не понял, почему нужно прийти именно к такой дроби.
После указанной замены в числителе исходного выражения мы получаем

$$\frac {\int\limits_0^t \sin y (\ln y - \ln t) dy } t = \frac {\int\limits_0^t \sin y \ln y dy - \ln t\int\limits_0^t \sin y dy} t.$$

Первый интеграл в числителе разобьём на два промежутка от 0 до $a$ и от $a$ до $t$. Интеграл от 0 до $a$ определённый. Обозначим его величину через $C$. Второй интегрируем по частям $\int udv = uv - \int vdu$, беря $u = \ln x$, $dv =\sin y dy$, и получаем

$$\frac {C - \cos y \ln y|_a^t + \int\limits_a^t \cos y /y dy +\ln t \cos y |_0^t} t.$$

После сокращений получим числитель исходного выражения

$$\frac {C_1 -\ln t +\operatorname{Ci} t} t.$$

Зная поведение $\operatorname{Ci} t$ при стремлении аргумента к бесконечности, получаем ответ.

[svv]

GAA
Я решал, как thething. Записанный им интеграл у меня был промежуточным этапом.
Дальше я рассуждал так. Продифференцируем по параметру $t$ выражение
$\int\limits_0^t\dfrac{1-\cos x}{x}dx-\int\limits_t^\infty\dfrac{\cos x}{x}dx-\ln t$
Получим нуль. Значит, это выражение равно некоторой константе $C$, и
$\int\limits_0^t\dfrac{1-\cos x}{x}dx=C+\int\limits_t^\infty\dfrac{\cos x}{x}dx+\ln t$
Дальше примерно как у Вас. Интеграл $\int\limits_t^\infty\dfrac{\cos x}{x}dx$ оценивается

adfg в сообщении #1640392 писал(а):

разбиванием промежутка по периодам синуса

[thething]

GAA в сообщении #1640442 писал(а):

Не понял, почему нужно прийти именно к такой дроби.

Просто, чтоб был ориентир.

svv в сообщении #1640444 писал(а):

Дальше я рассуждал так.

Я на нижнем пределе ставлю единицу, после чего получаю два интеграла: первый даёт логарифм, а второй в пределе даёт несобственный сходящийся интеграл.

[GAA]

$\int\limits_{0}^{1}\sin (tx) \ln x \, dx = \frac {\operatorname {Ci} t -\ln t- \gamma} t$
$\int\limits_{0}^{t}\frac {1-\cos y} ydy = \frac {-\operatorname {Ci} t +\ln t + \gamma} t$

-- Mon 27.05.2024 15:43:12 --

svv в сообщении #1640444 писал(а):

Интеграл $\int\limits_t^\infty\dfrac{\cos x}{x}dx$

$\int\limits_t^\infty\dfrac{\cos x}{x}dx = -\operatorname{Ci}t$

[svv]

Ну, да, но что это нам даёт без знания, что $\operatorname{Ci} t $ при $t\to\infty$ ограничен? Или считаете, что такое надо знать?

[GAA]

Не знаю, нужно ли знать, но вот у нас с вами отличается результат на знак. Как бы вы ничего не утверждали о связи вашего результата с исходным интегралом в числителе, но вопрос у меня возник почему "надо", а не "можно", и почему к этому выражению, а не с противоположным знаком.

[svv]

А, вот Вы о чём. Обратите внимание, что здесь

thething в сообщении #1640400 писал(а):

$\dfrac{\displaystyle\int\limits_0^t\frac{1-\cos x}{x}dx}{\ln t}$

и минуса нет в знаменателе, хотя он был в условии задачи. (Да и я показал только часть решения.) Короче говоря, у меня ответ $1$. И, думаю, у thething тоже.

[thething]

svv в сообщении #1640454 писал(а):

И, думаю, у thething тоже.

Ага.

GAA в сообщении #1640452 писал(а):

но вопрос у меня возник почему "надо", а не "можно", и почему к этому выражению, а не с противоположным знаком.

Ну, Вы весьма туманно это спросили)) Плюс, на мой взгляд, получение данного интеграла мгновенно приводит к ответу. Потому и "надо".

[GAA]

Спасибо! Для меня "надо" близко к необходимо. А если есть другие варианты, то "можно". Вчера попробовал вычислить и мгновенно пришёл к результату, без $\int_0^t \frac {1-\cos y} y dy$. А утром прочитал "надо". Подумал, что же у меня не так?

[Laguna]

GAA в сообщении #1640442 писал(а):

Первый интеграл в числителе разобьём на два промежутка от 0 до $a$ и от $a$ до $t$

Вот Ваш подход мне нравится больше всего. Действительно, разбить интеграл на 2 промежутка хорошая идея. Только единственное, надо показать что подынтегральная функция $\sin(y)\ln(y)$ на отрезке $[0, a], a>0$ нормально интегрируется. Это можно сделать, доопределив эту функцию в нуле нулем(нетрудно показать, что у этой функции в точке 0 устранимый разрыв). Значение интеграла от этого никак не изменится, а то, что функция интегрируема на этом отрезке будет следовать из того, что теперь она там непрерывна. Далее просто говорим, что этот интеграл какая-то константа. Кстати, вместо $a$ удобно взять 1. У меня вопрос такой, как можно строго обосновать тот факт, что

$$\int\limits_{a}^{t}\frac{\cos(y)}{y}dy$$

ограничен? Как только это обосновывается, то задача решается.

[GAA]

Laguna в сообщении #1640462 писал(а):

Как только это обосновывается, то задача решается.

thething в сообщении #1640446 писал(а):

а второй в пределе даёт несобственный сходящийся интеграл.

Вам нужно доказать, что соответствующий несобственный интеграл ($\int_a^{+\infty}\frac {\cos y} y dy$) сходится.

Вариант thething позволяет выразить интеграл в числителе исходного выражения через $\operatorname {Ci}$ точно, но в этом упражнении это избыточно.

-- Mon 27.05.2024 17:23:37 --

svv в сообщении #1640450 писал(а):

Ну, да, но что это нам даёт без знания, что $\operatorname{Ci} t $ при $t\to\infty$ ограничен?

Он не просто ограничен, он стремится к нулю, но это для данного упражнения избыточно.

[Laguna]

GAA в сообщении #1640464 писал(а):

Он не просто ограничен, он стремится к нулю, но это для данного упражнения избыточно.

Только что придумал доказательство того, что

$$\lim\limits_{t}^{\infty}\frac{\int\limits_{1}^{t}\frac{\cos(y)}{y}dy}{t}$$

равен нулю. Не могли бы Вы проверить, корректно ли оно? Так вот:
"Если функция в числителе НЕ стремится к бесконечности, то, очевидно, ответ 0. Предположим, что она стремится к бесконечности. Тогда можно "Лопитировать". Получаем, что

$$\lim\limits_{t}^{\infty}\frac{\int\limits_{1}^{t}\frac{\cos(y)}{y}dy}{t} = \lim\limits_{t}^{\infty}\frac{\cos(t)}{t} = 0$$

. Значит, исходный предел равен нулю". Ну а из этого факта уже следует, то, что ответ на задачу - число 1