Вычёркивание цифры

[Edward_Tur]

$$\frac{\overline{a_1a_2...a_n}}{\overline{a_1a_2...a_{k-1}a_{k+1}...a_n}}\in \mathbb N, a_n>0, 1<k<n\Rightarrow k=2.$$

[Shadow]

Разделим число в числителе на 3 части:

$x=\overline{a_1a_2\ldots a_{k-1}}$ ($k-1$ значное число).

$a=a_k$ - цифру, которую убираем

$y=\overline{a_{k+1}a_{k+2}\ldots a_n}$ - последние цифры - $n-k$ значное число.

Получается

$\dfrac{x\cdot 10^{n-k+1}+a\cdot 10^{n-k}+y}{x\cdot 10^{n-k}+y}=c,\;\; c \in \mathbb{N}$

Требуется доказать $k=2$, или что тоже самое, $x$ - однозначное число.

$y=10^{n-k} \cdot \dfrac{a - (c - 10) x}{c-1}$

Так как $y$ не делится на $10$ (по условию $a_n\ne 0$) то $c-1$ делится либо на $2^{n-k}$, либо на $5^{n-k}$

Тут нужно рассмотреть оба случая $c>10$ и $c<10$, но в любом случае $x<10$

Еще понятно что $c<19$. Интересно найти наибольшее такое число (с наибольшим $n-k$) Будет при $c-1=16$ и $n-k=4$

$y=5^4(a-7x)$ Конечно $x=1,a=8,y=625$ но четырехзначное, значит $0625$

$\dfrac{180625}{10625}=17$

[Утундрий]

Напомнило "салонный фокус" с умножением на $11$:

$$11=\frac {473} {43}=\frac {297} {27}=\frac {781} {71}=\ldots$$

[waxtep]

Пусть $b$ - основание позиционной системы счисления, и хочу по-другому индексировать $a$: чтобы $a_m$ стояло при $b^m$. Пусть наше число это $\overline{La_mR}$, тогда имеем

$$(bL+a_m)b^m+R=(b+s)(Lb^m+R)$$

или

$$(b+s-1)R=(a_m-sL)b^m$$

Неположительные $s$ не подходят по условию, что самый младший разряд - не ноль (и что мы не вычеркиваем его), а при положительных $s$ выражение $a_m-sL$ может оказаться положительным, только если $L$ - цифра.

-- 27.05.2024, 01:19 --

Ммм и тут я осознал, что это рассуждение подходит только для простых $b$

[waxtep]

waxtep в сообщении #1640395 писал(а):

$$(b+s-1)R=(a_m-sL)b^m$$

Неположительные $s$ не подходят по условию, что самый младший разряд - не ноль (и что мы не вычеркиваем его), а при положительных $s$ выражение $a_m-sL$ может оказаться положительным, только если $L$ - цифра.

-- 27.05.2024, 01:19 --

Ммм и тут я осознал, что это рассуждение подходит только для простых $b$

Рассмотрим оставшийся случай составных $b$, когда $s$ имеет право быть неположительным (когда $b+s-1$ делится на какой-то из собственных делителей $b$ в степени $m$). В нем

$$(b+s-1)R\leqslant(b-1)(b^m-1)<b^{m+1}$$

Теперь, если $L$ - не цифра, то $(a_m-sL)b^m\geqslant{b^{m+1}}$ (нулем ведь $s$ быть не может, т.к. $b-1$ взаимно просто с $b$). Значит, в исходном уравнении, левая часть с правой не сойдутся при $s<0$

-- 27.05.2024, 03:02 --

Shadow в сообщении #1640295 писал(а):

Еще понятно что $c<19$. Интересно найти наибольшее такое число (с наибольшим $n-k$) Будет при $c-1=16$ и $n-k=4$

$y=5^4(a-7x)$ Конечно $x=1,a=8,y=625$ но четырехзначное, значит $0625$

$\dfrac{180625}{10625}=17$

И в комплект наименьшее $6=\dfrac{108}{18}$