2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 01:41 


25/05/24
12
Я пытаюсь решить задачу минимизации следующего функционала
$$
\int_0^1 ( f'(t)^2 + g'(t)^2 - 2 \, r f'(t) g'(t) ) \, dt 
$$
по множеству пар $(f, g)$ таких что $f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$ для всех $t$. $g_0(t)$ и $f_0(t)$ это какие-то фиксированные функции и $r \in (0, 1)$.

Если $r < 0$, решение $(f, g)$ это наименьшие вогнутые неубывающие мажоранты функций $f_0$ и $g_0$. Если $r > 0$, я не знаю что делать.

Я попробовал взять лагранжиан
$$
\mathcal{L} = f'^2 + g'^2 - 2 r f' g' + \lambda ( f - f_0 ) + \mu (g - g_0).
$$
и записать уравнения Эйлера-Лагранжа для него
$$
2f''(t) - 2rg''(t) = \lambda(t) \quad \text{and} \quad
2g''(t) - 2 r f''(t) = \mu (t),
$$
но что делать дальше я не знаю. Как правильно соотнести эти уравнения с $f_0$ и $g_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
Уравнения Э-Л должны выполняться только там, где оба неравенства на $f,g$ строгие. Распишите вариацию функционала и заметьте, что $\delta f$ может быть и положительной и отрицательной там где $f>f_0$ и может быть только положительной там где $f=f_0$ и аналогично для $\delta g$.

Это все подробно написано в книгах Лионса–старшего и Ко (он много-много книг написал, с многими повторами)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
knodd в сообщении #1640184 писал(а):
$f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$
А эти условия принципиально что-то меняют? Допустим, Вы их не учитывали и нашли хорошее решение $(f,g)$. Но оказалось, что условие $g (t) \geq g_0(t)$ не выполняется. Тогда вместо $g(t)$ возьмите $g(t)+C$, подобрав константу $C$ так, чтобы неравенство выполнялось. В функционал входят только производные $f$ и $g$, и на них прибавление к функциям констант не повлияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 10:40 


25/05/24
12
svv в сообщении #1640186 писал(а):


$f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$ А эти условия принципиально что-то меняют? Допустим, Вы их не учитывали и нашли хорошее решение $(f,g)$. Но оказалось, что условие $g (t) \geq g_0(t)$ не выполняется. Тогда вместо $g(t)$ возьмите $g(t)+C$, подобрав константу $C$ так, чтобы неравенство выполнялось.



Очевидно что решения без этих условий это прямые линии. С этими условиями при $r < 0$, как я написал выше, решение это наименьшие неубывающие вогнутые мажоранты функций из условий.

-- 25.05.2024, 10:44 --

Red_Herring в сообщении #1640185 писал(а):
Уравнения Э-Л должны выполняться только там, где оба неравенства на $f,g$ строгие. Распишите вариацию функционала и заметьте, что $\delta f$ может быть и положительной и отрицательной там где $f>f_0$ и может быть только положительной там где $f=f_0$ и аналогично для $\delta g$.

Это все подробно написано в книгах Лионса–старшего и Ко (он много-много книг написал, с многими повторами)


Да, я понимаю что условия ЭЛ дожны выполняться только там где неравенства строгие. Это в частности видно в моем примере с $r < 0$: в этом случае функция $f$ на каких-то интервалах совпадает с $f_0$, а на других действительно является прямой линией (см. моё предыдущее сообщение).

Проблема только в том что я не знаю как понять где находятся интервалы на которых уравнение ЭЛ должно выполняться.

-- 25.05.2024, 10:47 --

P.S. Возьмите для простоты $r = 0$. В этом случае легче всего понять что $f$ должна быть наименьшей неубывающей вогнутой мажорантой $f_0$, а не прямой линией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 12:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
knodd в сообщении #1640184 писал(а):
Я пытаюсь решить задачу минимизации следующего функционала
$$
\int_0^1 ( f'(t)^2 + g'(t)^2 - 2 \, r f'(t) g'(t) ) \, dt 
$$
по множеству пар $(f, g)$ таких что $f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$ для всех $t$. $g_0(t)$ и $f_0(t)$ это какие-то фиксированные функции и $r \in (0, 1)$.


Странная задача...
В случае, когда функции $f_0, g_0$ ограничены сверху:
Если $r^2 \le 1$ трехчлен $P(x,y)=x^2 +y^2 -2rxy$ неотрицателен, и минимум (равный 0) достигается на функциях $f(t)=C_1, g(t) = C_2$, с достаточно большими константами (чтоб неравенства выполнились). Если $r^2>1$, то $P(a,b)<0$ для некоторых $a,b$, и на последовательности $f_n(t)= nat +C_{1,n}, g_n(t)=nbt+C_{2,n}$ (с достаточно большими константами (чтоб неравенства выполнились)) функционал уходит на "минус-бесконечность."

Если же $f_0, g_0$ не ограничены сверху: Коши-Буняковский ($(\int\limits_{}^{} f'(t)dt)^2 \le \int\limits_{}^{} (f'(t))^2dt \cdot (\int\limits_{}^{} dt)^2$) говорят за расходимость интегралов на всех допустимых парах функций.

knodd в сообщении #1640204 писал(а):
P.S. Возьмите для простоты $r = 0$. В этом случае легче всего понять что $f$ должна быть наименьшей неубывающей вогнутой мажорантой $f_0$, а не прямой линией.

Хорошее замечание :D . Действительно, видно, что все именно не так, а не не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 12:35 


25/05/24
12
Спасибо большое, я действительно забыл важное условие: $f(0) = g(0) = 0$. Без него всё так как Вы говорите и задача не имеет смысла. Этим условием отсекаются решения в виде констант и задача снова становится осмысленной.

То что решение
$$
\int_0^1 f'(t)^2 \, dt \to \min, \quad f(t) \geq f_0(t), \quad f(0) = f_0(0) = 0
$$
это наименьшая неубывающая вогнутая мажоранта известный факт. Я могу привести доказательство если нужно.

-- 25.05.2024, 12:46 --

Red_Herring в сообщении #1640185 писал(а):
Это все подробно написано в книгах Лионса–старшего и Ко (он много-много книг написал, с многими повторами)


Не могли бы Вы подсказать какие именно книги Вы имеете в виду? Это было бы очень полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
knodd в сообщении #1640204 писал(а):
Проблема только в том что я не знаю как понять где находятся интервалы на которых уравнение ЭЛ должно выполняться.
Это вы найдете в процессе решения.

Вот пример из той же оперы: минимизировать $\int_0^1 ({u'}^2+2u) \,dx$ при ограничениях $u(0)=u(1)=0,  u\ge u_0$. Это линеаризованная струна под нагрузкой, над уровнем $u_0$. Уравнение будет $(-u''+1)(u-u_0)=0 $, плюс $u\ge u_0$, $-u''+1 \ge 0$. Где-то струна свободна, а где-то ложится на $u_0$ . А вот где что находится в процессе решения. Задачи со свободными границами или задачи с неопределенными границами.

Вот еще один пример: точка скользит по куполу под действием силы тяжести, а где-то отрывается от купола и летит свободно.


knodd в сообщении #1640212 писал(а):
Не могли бы Вы подсказать какие именно книги Вы имеете в виду? Это было бы очень полезно.
Я их читал много десятков лет назад. Они есть на русском. Их было много, в отличие от Лионса-младшего папаша был изрядным халтурщиком, и ощипывал одного гуся много раз :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 13:06 


25/05/24
12
Red_Herring Мне очень нравится ваш пример, но даже на нём я не понимаю вот что. Мне кажется (поправьте если я не прав), что в уравнениях
$$
\begin{cases}
(-u'' + 1 ) ( u - u_0 ) = 0, \\
u \geq u_0, \\ 
-u'' + 1 \geq 0,
\end{cases}
$$
недостаточно информации чтобы определить $Z = \{ x \colon u(x) = u_0(x) \}$. А ведь это единственное чего не хватает чтобы определить вид решения: так как $Z$ замкнутое, значит $Z^c = \bigcup_n (a_n, b_n)$. Следовательно, решение $u$ совпадает с $u_0$ на $Z$ и является решением $-u'' + 1 = 0$, $u(a_n) = u_0(a_n)$, $u(b_n) = u_0(b_n)$ на интервалах из $Z^c$.

-- 25.05.2024, 13:15 --

Видно что
$$
Z \subset \{ x \colon -u_0'' (x) + 1 \geq 0 \}.
$$
но неясно есть ли обратное включение? Кажется что вообще говоря нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
knodd в сообщении #1640215 писал(а):
Мне кажется (поправьте если я не прав), что в уравнениях

Там еще граничные условия $u(0)=u(1)=0$ (не забыли?). Рассмотрим самый простой случай: $u_0$ константа. Вы рисуете параболу. Если $u_0$ внизу, то решение будет этой параболой. А если парабола натыкается на препятствие, то решение после этого становится $u_0$, а потом отрывается и снова парабола.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 13:21 


25/05/24
12
Red_Herring Хорошо, это понятно. Но как описать момент отрывания в терминах $u_0$? Пусть $u (0) = u_0 ( 0 ) = 0$. Как понять в какой момент $u$ должно оторваться от $u_0$?

Верно ли например что $u$ отрывается от $u_0$ как только $-u_0'' + 1 < 0$ и не отрывается до этого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
knodd в сообщении #1640204 писал(а):
С этими условиями при $r < 0$, как я написал выше, решение это наименьшие неубывающие вогнутые мажоранты функций из условий.
Нет. Всё те же прямые линии. Только поднятые добавлением констант на столько, чтобы условия выполнялись. DeBill расписал это подробнее.

-- Сб май 25, 2024 13:05:52 --

knodd в сообщении #1640212 писал(а):
я действительно забыл важное условие: $f(0) = g(0) = 0$
А, теперь понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 14:10 


25/05/24
12
В рассуждении про константы верно вот что: решение хочет стать константой как можно скорее. В смысле, правый конец в моей постановке свободный. Но трудность которую не получается преодолеть не в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
knodd в сообщении #1640217 писал(а):
Red_Herring Хорошо, это понятно. Но как описать момент отрывания в терминах $u_0$? Пусть $u (0) = u_0 ( 0 ) = 0$. Как понять в какой момент $u$ должно оторваться от $u_0$?

Верно ли например что $u$ отрывается от $u_0$ как только $-u_0'' + 1 < 0$ и не отрывается до этого?
Да, отрыв происходит в этот момент. Принципиально важно: где что происходит находится в процессе нахождения решения, не до того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 15:02 


25/05/24
12
Red_Herring Видимо я не понимаю что Вы имеете в виду. Мне хотелось бы решить задачу для всех $u_0$ сразу, как в моём ответе с минимальной неубывающей мажорантой, а не для конкретного $u_0$. Для этого важно понять как множество точек отрыва/приклеивания обратно устроено.

А как понять что отрыв происходит именно в этот момент? Что именно запрещает решению $u$ перестать совпадать с $u_0$ в той области где $-u_0'' + 1 \geq 0$? Вроде ни одно из уравнений этого не требует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием в виде неравенства
Сообщение25.05.2024, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
knodd в сообщении #1640224 писал(а):
А как понять что отрыв происходит именно в этот момент?
Не раньше

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group