Классические решения уравнений мат. физики

[arte-semaki]

В литературе классическое решение уравнения математической физики порядка $m$ определяется как $m$ раз непрерывно дифференцируемая функция, обращающая данное уравнение в верное тождество. У меня возник вопрос - зачем решению нужна именно непрерывная дифференцируемость? Если функция в каждой точке интересующей нас области пространства просто имеет все частные производные до порядка $m$ включительно, то она будет обращать уравнение в верное тождество даже, если производные порядка $m$ не будут непрерывны, а будут просто существовать.

[пианист]

Что-то никто не ответил..
Во-первых, что предлагается подставлять в уравнение в точке разрыва, и почему именно это? И какой в этом будет смысл (обычно диффуры описывают какие-то реально происходящие процессы).
Когда и если значения в отдельных точках не важны (или разрыв естественен по смыслу задачи), обычно пользуются понятием слабого решения.
Ну и, если Вам позарез нужно именно разрывные решения, и именно в классическом смысле, никаким законом это делать не воспрещается. Будут решения в смысле arte-semaki :)

[мат-ламер]

arte-semaki в сообщении #1639664 писал(а):

Если функция в каждой точке интересующей нас области пространства просто имеет все частные производные

Как думаете, если функция в области из $R^2$ имеет частные производные как по одной переменной, так и по другой, обязана она быть дифференцируемой в этой области, как функция от двух переменных?

-- Пн май 20, 2024 10:09:20 --

arte-semaki в сообщении #1639664 писал(а):

У меня возник вопрос - зачем решению нужна именно непрерывная дифференцируемость?

Может быть правильнее вопрос так сформулировать:

arte-semaki в сообщении #1639664 писал(а):

зачем классическому решению нужна именно непрерывная дифференцируемость?

[dgwuqtj]

Есть ещё такое соображение, что пространство непрерывно дифференцируемых функций довольно хорошее, оно банахово и сепарабельное. А с просто дифференцируемыми функциями сложнее.

[arte-semaki]

В качестве примера функции, производная которой определена на всей числовой оси, но при этом эта производная не является непрерывной в точке $x=0$, приводят функцию
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\sin(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{array}\right.$
Ее производная есть
$f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x\sin(1/x)-\cos(1/x), & x\ne0,\\0, & x=0.\end{array}\right.$
Тогда определенная в $R^2$ функция $u(x,y)=f(x)+f(y)$ имеет частные производные $u'_x=f'(x)$ и $u'_y=f'(y)$, которые также определены в $R^2$, но не являются в $R^2$ непрерывными. Эта функция $u(x,y)$ обращает уравнение $u'_x+u'_y=f'(x)+f'(y)$ в верное тождество во всех точках $R^2$, но не является непрерывно дифференцируемой. Этот пример показывает, что в общем случае решения могут существовать и за пределами класса непрерывно-дифференцируемых функций. Поэтому у меня и вопрос - почему на классические решения накладывается ограничение в виде наличия непрерывной дифференцируемости?

[Alex Krylov]

Например, требование по принадлежности решения к некоторому классу $C^k$ может постулироваться для того, чтобы иметь возможность применить сколько-то раз операцию интегрирования по частям, теоремы Грина или Остроградского-Гаусса итд...

Это как один из вариантов...

[worm2]

Если по-простому, то дифуры возникли в математике не из какого-то её внутреннего развития, а из практических нужд других наук, в первую очередь физики.
И этим другим наукам по барабану чисто математические заморочки. Даже негладкие решения рассматривают и не парятся.
На фоне кучи практических проблем чистейшие математики отступились от исследования ещё и теоретических тёмных углов дифуров. Но, в принципе, желающие могут, никто не запрещает.

[Red_Herring]

worm2 в сообщении #1640054 писал(а):

Если по-простому, то дифуры возникли в математике не из какого-то её внутреннего развития, а из практических нужд других наук, в первую очередь физики.

Многие уравнения пришли действительно из физики (в широком смысле слова), но некоторые из нужд самой математики. При этом правильное понятие решения для УЧП часто зависит от типа уравнения (например, т.н. классическое решение волнового уравнения более или менее разумно только в случае одной пространственной переменной.