Задача из матана

[Gg322]

Пусть существует предел $\lim\limits_{n \to \infty }^{}a_k= A.$ Вычислить предел:

$$\lim\limits_{n \to \infty }^{}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^3}a_k.$$

Тут надо как-то через интеграл решать?

[TOTAL]

Попробуйте разбить сумму на две части (во второй части $a_k$ уже близко к пределу).

[Gg322]

TOTAL в сообщении #1640009 писал(а):

Попробуйте разбить сумму на две части (во второй части $a_k$ уже близко к пределу).

Ответ $\frac{A}{3}$? Формулы долго писать,поэтому попытаюсь словами. Получается делим на две суммы, во второй сумме каждый член последовательности заменяем через $ A + e_k,$ где $e_k$ бесконечно малая. Оставшуюся часть второй суммы считаем через интеграл и там останется два слагаемых: $\frac{A}{3}-\frac{(m+1)^3}{3n^3}$. Первая сумма оценивается сверху числом $\frac{mC}{n}, |a_k|<C$. Получается сначала подбираем $m$, чтобы представление $a_k$ выполнялись, потом находим $n$ из условия $\frac{(m+1)C}{n} < e$.

[thething]

Gg322
Вообще, удобнее сперва перейти к последовательности $b_k=a_k-A$. После этого, как и было предложено, пишем две суммы $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^N\dfrac{k^2b_k}{n^3}+\sum\limits_{k=N+1}^n\dfrac{k^2b_k}{n^3}$. Первая при фиксированном $N$ стремится к нулю, а вторая оценивается сверху величиной $\varepsilon$.

Ещё, очень быстро решаются такие задачи с применением теоремы Штольца.