Исследовать на равномерную сходимость

[Дмитрий Келлерман]

$\int_0^{+\infty} \frac{R(x+\alpha)}{x+\alpha+1}e^{-\alpha x} \, dx$
где $R(x)$-функция Римана.$A=(0,+\infty)$

[Brukvalub]

А мажорантный признак Вейерштрасса не помогает?

[Дмитрий Келлерман]

$g(x)=\frac{|cos(x)|}{xe^x}$ не подойдет? Вроде за крит.Дирихле интеграл от $g(x)$ сходится?

[Brukvalub]

Дмитрий Келлерман в сообщении #164030 писал(а):

$g(x)=\frac{|cos(x)|}{xe^x}$ не подойдет?

Покажите, как эта функция помогает решить задачу

[Дмитрий Келлерман]

Ну...
$ \frac{R(x+a)}{x+a+1}e^{-\alpha x} \leq \frac{|cos(x)|e^{-x}}{x}$

[Brukvalub]

Дмитрий Келлерман в сообщении #164036 писал(а):

$ \frac{R(x+a)}{x+a+1}e^{-\alpha x} \leq \frac{|cos(x)|e^{-x}}{x}$

Почему это неравенство всегда верно?

[Дмитрий Келлерман]

Хорошо... давайте начнем з определления функции Римана...
$R(x)=0$ $if$ $x \in R \setminus Q$ $R(x)=\frac{1}{n}$ $if$ $x \in Q$ $x=\frac{m}{n}$ следовательно $R(x)$ принимат значения на множестве $[0,1]$
упсс... только что понял... $\exists x: R(x) > |cos(x)|$

[voroninv]

Brukvalub в сообщении #164005 писал(а):

А мажорантный признак Вейерштрасса не помогает?

Ну функция Римана мажорируется единицей, но как-то не очень просто избавиться от \alpha в показателе степени е, особенно учитывая, что \alpha может как угодно близко подходить к нулю...

Подумалось, может тут и нет равномерной сходимости, не зря же такая специфическая функция Римана дана? Надо, наверное, покрутить определение равномерной сходимости (мысли вслух).

Добавлено спустя 10 минут 39 секунд:

Ещё подумалось, что функция Римана не равна нулю только на множестве меры нуль, а значит любой собственный интеграл (римановский) от подынтегрального произведения равен нулю. Значит всё-таки есть равномерная сходимость (если я где-нибудь жутко не ошибаюсь).

[Brukvalub]

Ладно, тогда просто проверить определение равномерной сходимости тоже не судьба?