Задача из линейной алгебры

[Gg322]

Пусть $S$ - ортогональная матрица. Пусть $(E-S)$ обратимая матрица, $E$ - единичная матрица. Доказать, что $x^{T}(E-S)^{-1}x$ постоянна на действительных единичных векторах $x$ и найти чему оно равно.

[dgwuqtj]

Если решать в лоб, то можно посчитать обратную матрицу к $\bigl(\begin{smallmatrix}1 - \cos t & \sin t \\ -\sin t & 1 - \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$. Как известно, в некотором базисе $E - S$ будет блочно-диагональной с блоками такого вида, а также блоками $(2)$ и $(0)$ (последний случай отпадает по условию).

[мат-ламер]

У меня вопрос к топик-стартеру. Будет ли то число, которое нужно найти в задаче, зависеть от угла для элементарных матриц поворота? Попытки решения на форуме приветствуются.

[Gg322]

мат-ламер в сообщении #1639669 писал(а):

У меня вопрос к топик-стартеру. Будет ли то число, которое нужно найти в задаче, зависеть от угла для элементарных матриц поворота? Попытки решения на форуме приветствуются.

Ответа не знаю. Пытался как нибудь доказать, что это квадратичная форма, пришёл к тому, что это не так. Пытался ещё использовать, что $E-S=S^{-1}S-S=(S^{-1}-E)S$, но дальше тоже не получилось.

[svv]

Gg322 в сообщении #1639683 писал(а):

Ответа не знаю.

Обратите внимание, dgwuqtj дал совет, достаточный для ответа на этот вопрос и для решения.

[Null]

Можно так $(E-S)^{-1}=D+S$, где $D$- симметричная матрица, а $S$ кососимметрическая. У меня получилось что $D=\frac{1}{2}E$

[lel0lel]

$x^T(E-S)^{-1}x=x^T\left((E-S)^{-1}\right)^T x=x^T(E-S^{-1})^{-1}x=x^T S(S-E)^{-1}x=x^T(S-E+E)(S-E)^{-1}x=x^Tx-x^T(E-S)^{-1}x,$
отсюда $2x^T(E-S)^{-1}x=1$.

[Gg322]

lel0lel в сообщении #1639755 писал(а):

$x^T(E-S)^{-1}x=x^T\left((E-S)^{-1}\right)^T x=x^T(E-S^{-1})^{-1}x=x^T S(S-E)^{-1}x=x^T(S-E+E)(S-E)^{-1}x=x^Tx-x^T(E-S)^{-1}x,$
отсюда $2x^T(E-S)^{-1}x=1$.

Я переход не понял, как мы к транспонированию перешли.

[svv]

Самый первый переход? $x^T(E-S)^{-1}x$ — это число, т.е. матрица $1\times 1$. Если её транспонировать, она не изменится:$x^T(E-S)^{-1}x=(x^T(E-S)^{-1}x)^T$
Дальше по общей формуле (транспонирование произведения).

[Gg322]

Спасибо всем за помощь, помогли решить.