Неравенство с экспонентой

[Edward_Tur]

Для натурального числа $m>1$ и положительных чисел $p_1, …, p_m$ и $x$ выполняется неравенство

$$\large\frac{e^{(\sum_{k=1}^m{p_k})x}-1}{\sum_{k=1}^m{p_k}}\cdot x^{m-1}>\prod_{k=1}^m\frac{(e^{p_k x}-1)}{p_k}.$$

[maxal]

Достаточно доказать для $m=2$, где полагая $a:=p_1x$ и $b:=p_2x$ нам требуется установить, что $f(a+b) \geq f(a)\cdot f(b)$ для $f(z):=\frac{e^z-1}z$.
Переходя к логарифмам, нужно получить $\log(f(a+b)) \geq \log(f(a)) + \log(f(b))$. Нетрудно проверить, что $\log(f(z))$ является вогнутой, и тогда неравенство Йенсена дает

$$\log(f(\frac{a+b}2)) \geq \frac12(\log(f(a)) + \log(f(b)).$$

Остается заметить, что

$$f(z)-f(z/2)^2 = \frac{(z-4)e^{z}+8e^{z/2}-4-z}{z^2} \geq 0,$$

так как в числителе стоит ряд с неотрицательными коэффициентами.

Таким образом, мы доказали, что

$$f(a+b) \geq f(\frac{a+b}2)^2 \geq f(a)\cdot f(b).$$