Нахождение определителя матрицы

[warning233]

Всем доброй ночи. Нарешиваю задачник и застрял на одном определителе:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 2 & 3 & 4 & ... & 1\\ 3 & 4 & 5 & ... & 2\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ n & 1 & 2 & ... & n - 1 \end{pmatrix}$$

В указании к этому заданию написано, что надо из каждой строки вычесть предшествующую. Проблема в том, что я совсем не понимаю, что будет в последней строке. Очень нужна ваша помощь.

[Sinoid]

В тех подобных задачах, которые решал я, в подобных случаях, последняя строка бы не затрагивалась. Попробуйте сначала на маленьких $n=$ 2, 3, 4, если нужно будет, то и 5, выявить те общие моменты, которые возникают при вычислении этих определителей при этих $n$, а потом перенести эти моменты на случай произвольного $n$.

-- 17.05.2024, 02:30 --

warning233 в сообщении #1639369 писал(а):

В указании к этому заданию написано, что надо из каждой строки вычесть предшествующую.

Это частое указание к задачам подобного рода, да.

[svv]

warning233 в сообщении #1639369 писал(а):

надо из каждой строки вычесть предшествующую

Причём хорошо получается, если делать это, начиная с последней (т.е. снизу вверх).

[Утундрий]

Здесь есть красивый ответ? У меня фигня какая-то получается.

[warning233]

Утундрий в сообщении #1639396 писал(а):

Здесь есть красивый ответ? У меня фигня какая-то получается.

Да, есть: $(-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}} \frac{n^{n - 1} (n + 1)}{2}$

-- 17.05.2024, 14:04 --

svv в сообщении #1639375 писал(а):

warning233 в сообщении #1639369 писал(а):

надо из каждой строки вычесть предшествующую

Причём хорошо получается, если делать это, начиная с последней (т.е. снизу вверх).

Не знаю, правильно ли я вычитал, но я получил >2 совпадающих строк, а это значит, что определитель равен 0, но ответ другой...

[svv]

$\begin{vmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&3&4&5&6&1\\3&4&5&6&1&2\\4&5&6&1&2&3\\5&6&1&2&3&4\\6&1&2&3&4&5\end{vmatrix}$
Вычитаем, как советуют.
$\begin{vmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&1&1&1&1&-5\\1&1&1&1&-5&1\\1&1&1&-5&1&1\\1&1&-5&1&1&1\\1&-5&1&1&1&1\end{vmatrix}$
Во всех строках, кроме первой, сумма элементов равна нулю. Первая строка и первый столбец выбиваются из общего порядка. Значит, если портить, то их. Прибавим к первому столбцу остальные.
$\begin{vmatrix}21&2&3&4&5&6\\0&1&1&1&1&-5\\0&1&1&1&-5&1\\0&1&1&-5&1&1\\0&1&-5&1&1&1\\0&-5&1&1&1&1\end{vmatrix}$
Раскладываем по элементам первого столбца. Угловой элемент даёт множитель $1+\ldots+n=n(n+1)/2$, это уже часть ответа. Остаётся найти определитель
$\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&-m\\1&1&\cdots&-m&1\\\vdots&\vdots&\reflectbox{\(\ddots\)}&\vdots&\vdots\\1&-m&\cdots&1&1\\-m&1&\cdots&1&1\end{vmatrix}$
$$где $m=n-1$ — порядок нового определителя. Он однозначно проще, чем исходный, и тоже часто встречается в упражнениях. Попробуйте найти его. Если что, нулю он не равен.